|
[99] 5. Цитируется по кн.: E.W. Beth. The Foundations of Mathematics. A Study in the Philosophy of Science. Amsterdam, 1965. p. 618–619. [100] 6. Р. Декарт. Избранные произведения, с. 86. [101] 7. См., например: Ж. Пиаже. Избранные психологические труды. [М.], 1959. [102] 8. А. А. Марков. Комментарии.–В кн.: А. Рейтинг. Интуиционизм. Введение. М., 1965, с. 162. [103] 9. При интуиционистской – не связанной с понятием алгоритма – трактовке конструктивности. [104] 10. Мы набросали лишь идею доказательства. Точную формулировку теоремы и полное ее доказательство можно найти, скажем, в кн.: Г.М. Фихтенгольц. Основы математического анализа. Т. I. М.. 1960, с. 105–106. [105] 11. См. Д. Гильберт. Основания геометрии. М.– Л., 1948. [106] 12. И вступил по этому поводу в полемику с Гильбертом (переписка Фреге и Гильберта по данному вопросу опубликована в «Sitzungsberichte der Heidelberger Akademie der Wissenschaften.». Jahrgang 1940, 6. Abhandlung, Heidelberg, 1940; 1941, 2. Abhandlung, Heidelberg, 1941). [107] 13. Гильберт говорит: «с применением метода идеальных элементов связано одно условие, одно единственное, но необходимое, это доказательство непротиворечивости. Именно, расширение посредством пуюбщения идеальных элементов дозволено только в том случае, когда при этом в старой, более узкой области не‑возникает никаких противоречий, то есть если соотношения, которые выявляются для старых образов при исключении идеальных образов, всегда остаются справедливыми в этой старой области» (Д. Гильберт. Обоснования математики. Добавление IX в его книге «Основания геометрии», с. 376). [108] 14. Д. Гильберт. О бесконечном. Добавление VIII в его книге «Основания геометрии», с. 350. [109] 15. См.: Проблемы Гильберта. М., 1969, с. 22. [110] 16. Д. Гильберт. О бесконечном. Добавление VIII в его книге «Основания геометрии», с. 351. [111] 17. Д. Гильберт. Обоснования математики. Добавление IX в его книге «Основания геометрии», с. 381–382. Под «реальными высказываниями» Гильберт имеет в виду высказывания, не содержащие «идеальных элементов». [112] 18. Обращаем внимание на различие между доказательством теорем в формальной системе и доказательством теорем о самой формальной системе. Доказательства последнего рода называются метадоказательствами, а теоремы, в них доказываемые, метатеоремами. Что доказательства в формальной системе финитны – это очевидно, так как они представляют собой знаковые конструкции, то есть материальные объекты. Задача Гильберта состояла в том, чтобы придать финитный характер метадоказательствам. — 136 —
|