Жар холодных числ и пафос бесстрастной логики

[66] 5. E. Т. Веll. Men of Mathematics. N. Y., 1962. p. 431.

[67] 6. С теорией Дедекинда можно подробнее познакомиться по изложению автора. См.: Р. Дедекинд. Что такое числа и для чего они служат. Казань, 1905.

. См. Г.М. Фихтенгольц. Основы математического анализа. Т. 1. М., 1960, с. 17.

[68] 8. Априори возможен еще случай, когда в левом классе есть наибольшее число, а в правом – наименьшее. Однако нетрудно показать, что такой случай противоречит свойствам сечения.

[69] 9. См. об этом подробнее в кн. В. Н. Молодшего, указанной в примечании 2.

[70]

[71] 10. Б. Рассел. История западной философии. М., 1959, с. 56.

[72] 11. Цитируется по кн.: Н. Бурбаки. Очерки по истории математики. М., 1963. с. 29.

[73] 12. См. об этом в кн.: История математики. Т. 1. М., 1970, с. 292 и далее.

[74] 13. См. статью Л. Кальмара, указанную в примечании 13 к гл.1, е.188,

[75] 14. С основными идеями Г. Кантора можно ознакомиться по трем его работам, имеющимся в русском переводе (опубликованы в издании:

Новые идеи в математике. Вып. 6. Спб, 1914).

[76] 15. С. К. Клини. Введение в метаматематику. М., 1957, с. 14.

[77] 16. Этот результат был в определенном смысле обобщением следующего свойства конечных множеств. Пусть дано, скажем, множество из трех элементов М = {а, b, с}. Помимо пустого множества, по определению входящего во всякое множество, и самого множества M, входящего в самое себя, в нем содержатся следующие подмножества: {а}, {b}, {с} {а, b}, {а, с}, {b, с}; таким образом, множество всех подмножеств множества из трех элементов содержит 8, или 23 элементов. Легко доказать, что если исходное множество содержит n элементов, то множество всех его подмножеств будет содержать 2n элементов. Поэтому в случае конечных множеств количественное превосходство производного множества над исходным очевидно. Но когда речь идет о бесконечных множествах, вопрос становится не таким просты»: Кантор доказал, что и в этом случае производное множество превзойдет исходное; правда, здесь уже нельзя будет сказать, что в нем окажется больше элементов – и там и там их бесконечно много, а следует говорить, что оно обладает большей мощностью. Термин «мощность» Кантор определил математически строго. См. гл. I книги С. К. Клини, указанной в примечании 15.

[78] 17. G. Frege. Begriffsschrift, eine der arithmetischen nachgebildete Formelsprache des reinen Denkens. Halle, 1879; G. Frege. Grundgesetze der Arithmetik, begriffsschrift lich abgeleitet. Bd. I, Jena, 1893; Bd. II, Jena, 1902: