|
задачи, в ходе которого ее элементы выступают в новом качестве, новых понятийных характеристиках и сама она - соответственно - в новых формулировках. Приведем конкретный пример того, как в ходе решения геометрической задачи осуществляется этот процесс переформулирования условий и требования задачи. В задаче дан четырехугольник, середины сторон которого соединены между собой (рис. 2); требуется до- казать, что полученная фигура - параллелограмм. Испытуемый анализирует условия задачи, выделяя и от- мечая на чертеже равные отрезки Bb=bC, Cc= cD и т.д., и требование задачи-<доказать, что abcd -па- раллелограмм>. Он соотносит требование задачи с соответствующей теоремой о свойствах параллелог- рамма; на основании которой он переформулирует первоначальное требование задачи таким образом: <доказать, что аb = cd и аb || cd> (первая переформулировка задачи) (рис. 2). Затем испытуемый соотносит и требование задачи, включая данные в условии отрезки и входящие в требование прямые аb и cd в треугольники аBb и cDd. Он хочет доказать равенство этих треугольников, затем их подобие, чтобы, исходя из этого, доказать, что аb = cd; аb || cd. Таким образом, требование задачи переформулируется: <доказать равенство треугольников аBb и cDd> (вторая переформулировка задачи). Однако дальнейший анализ, направленный на доказательство этого положения, выявляет, что условие задачи неправильно учтено в рассматриваемой системе треугольников (из равенства Bb = bC; Cc = cD и т.д. не следует, что Bb = cD и Bа = dD). Этот анализ неудачной пробы выявляет также возможность более расширенного использования условий задачи (о равенстве отрезков), а именно: возможность соотносить от- резки, лежащие на противоположных сторонах четырехугольника, не как равные, а как <пропорциональ- ные>. На основании этого испытуемый соотносит условия с теоремой о средней линии, которая соединяет середины сторон, и проводит на чертеже линию db. Задача переформулируется так: <доказать, что db -средняя линия четырехугольника> (третья переформулировка задачи) (рис. 2). Это новое требование задачи соотносится с ее исходным требованием так: средняя линия обладает свойством параллельности основанию, основанию, отсюда мы затем докажем нужную нам параллельность. Однако дальнейший конкретный анализ полученной системы связей (каким основанием параллельна <средняя> линия db) и соотнесение с требованием задачи (<доказать параллельность аb и cd>) показывает, — 432 —
|