|
Касательное расслоение шестимерного многообразия Калаби-Яу представляет собой соответственно 12-мерное пространство с шестью степенями свободы в касательном пространстве и шестью степенями свободы в самом многообразии. Расслоения имеют решающее значение в попытках струнных теоретиков сформулировать физику элементарных частиц в терминах теории Янга-Миллса, где калибровочные поля описываются набором дифференциальных уравнений, называемых, как нетрудно догадаться, уравнениями Янга-Миллса. Наш следующий шаг состоит, в частности, в поиске решений уравнений для калибровочных полей, живущих на трехмерном многообразии Калаби-Яу. Поскольку основной причиной появления многообразий Калаби-Яу в теории струн было удовлетворение требованиям суперсимметрии, калибровочные поля также должны подчиняться суперсимметрии. Это означает, что мы должны решать специальные суперсимметричные уравнения Янга-Миллса, называемые эрмитовыми уравнениями Янга-Миллса. Эти уравнения дают суперсимметрию с минимальным количеством типов симметрии, которое только можно получить, известную как суперсимметрия N = 1, и это единственная суперсимметрия, которая согласуется с современной физикой элементарных частиц. «До того как теория струн поразила наше воображение, большинство физиков особо не задумывались о геометрии и топологии, — говорит физик Пенсильванского университета Бёрт Оврут. — Мы просто записывали уравнения типа уравнений Янга-Миллса и пытались их решить». Единственной загвоздкой является то, что эрмитовы уравнения Янга-Миллса являются существенно нелинейными дифференциальными уравнениями, которые никто не может решить. «До сегодняшнего дня, — говорит Оврут, — нет ни одного известного [явного] решения эрмитовых уравнений Янга-Миллса в шестимерном многообразии Калаби-Яу. Следовательно, мы должны были бы остановиться на достигнутом, если бы не работа некоторых геометров, показавших нам иной путь».[161] Расслоения предлагают нам обходной путь для этого нелинейного дифференциального барьера, поскольку мы можем считать расслоение, прикрепленное к многообразиям Калаби-Яу, альтернативным описанием калибровочных полей, определяемых уравнениями Янга-Миллса. Как это сделать, описывает теорема DUY(ДУЯ), название которой составлено из первых букв фамилий Саймона Дональдсона (Simon Donaldson) (Королевский колледж), Карена Уленбека (Karen Uhlenbeck) (Техасский университет) и моей (Yau). Идея, лежащая в основе теоремы, заключается в том, что эрмитовы уравнения Янга-Миллса определяют поле, которое может быть представлено векторным расслоением. Мы доказали, что если построить расслоение на Калаби-Яу, которое удовлетворяет конкретному топологическому условию, а именно является устойчивым или технически — с более устойчивым углом наклона (крутизной), то такое расслоение допускает существование уникального калибровочного поля, которое автоматически удовлетворяет этим уравнениям. «Это не имеет смысла, если вы меняете одну чрезвычайно сложную проблему на другую крайне трудную, — отмечает Оврут. — Но вторая проблема создания устойчивого расслоения намного проще, в результате не надо вообще решать эти ужасные дифференциальные уравнения».[162] — 181 —
|