Теория струн и скрытые измерения Вселенной

Мы уже обсуждали понятие класса Черна — метода классификации топологических пространств и грубого определения различия между ними (см. четвертую главу). Как уже указывалось, первый класс Черна исчезает (или равен нулю), если можно ориентировать все касательные векторы на многообразии в одном и том же направлении. Это похоже на задачу расчесать густые волосы, не оставив торчащего чуба. Это невозможно на двухмерной сфере, но можно избежать чуба на поверхности двухмерного тора. Поэтому мы говорим, что тор обладает исчезающим первым классом Черна, тогда как первый класс Черна для сферы является неисчезающим.

Второй класс Черна можно на пальцах определить аналогичным образом, за исключением того, что нам необходимо рассмотреть на некотором многообразии два векторных поля, а не одно. Векторные поля, о которых мы здесь говорим, являются комплексными, то есть координаты отдельного вектора описываются комплексными числами. Если принять, что эти два векторных поля являются независимыми, то в большинстве точек на многообразии векторы, вероятно, будут иметь различные направления. Но в определенных точках векторы из каждого поля могут иметь одно и то же комплексное направление или оба стремиться к нулю. На самом деле, может существовать целый набор точек, где это условие будет выполняться. Такой набор точек образует замкнутую двухмерную поверхность в пределах нашего шестимерного многообразия, а вместе эти точки представляют второй класс Черна.

Каким образом это связано с устранением аномалий? Грин и Шварц показал, что независимо от того, насколько плохими могут оказаться аномалии, если удастся заставить их компенсировать друг друга и тем самым устранить, то, возможно, в конце концов, получится жизнеспособная теория. Один из способов избавления от таких надоедливых аномалий заключается в том, чтобы убедиться, что выбранное вами расслоение имеет тот же второй класс Черна, что и касательное расслоение.

Что касается вопроса, почему это должно работать, мы должны помнить, что расслоения, о которых идет речь, являются, в некотором смысле, эрзацами фоновых полей — гравитационных и калибровочных, из которых можно вывести реальные силы, существующие в природе. Например, касательное расслоение Калаби-Яу является хорошим слепком гравитационного поля, так как Калаби-Яу, характеризуемое специальной метрикой, позволяет решить уравнения гравитационного поля Эйнштейна. Другими словами, гравитация в некотором роде зашифрована в его метрике. Но метрика также связана с касательным расслоением, потому что метрика, как говорилось ранее, предоставляет нам функцию для вычисления расстояния между любыми двумя точками А и В на многообразии. Мы берем все возможные пути между А и В и разбиваем каждый путь на много крошечных касательных векторов; объединенные вместе касательные векторы образуют касательное расслоение. Вот почему в случае попытки удаления аномалий можно использовать касательное расслоение Калаби-Яу, чтобы построить гравитационную часть теории.