|
Пусть нам требуется найти такое X, которое порождало бы 98Х. Предположим, что это X действительно порождает число 98Х. Тогда утверждение 8Х истинно в том и только том случае, если утверждение 98X доказуемо (согласно условию Мс1); поэтому утверждение 98Х истинно в том и только том случае, если утверждение 98Х недоказуемо (согласно условию Мс2). Значит, утверждение 98 X является истинным, но недоказуемым в данной системе (поскольку система правильна). Теперь, если в качестве А мы возьмем число 98, то увидим, что числом X, порождающим 98Х, является число 546429854642, Поэтому утверждение 98546429854642 истинно, но недоказуемо в данной системе. 9. Я сообщил вам, что наш логик точен, но я вовсе не говорил, будто он знает, что он точен! Если бы логик знал, что он точен, тогда данная ситуация действительно привела бы нас к противоречию. Поэтому правильный вывод из обстоятельств 1, 2 и 3 вовсе не содержит противоречия: просто-напросто хотя логик и точен, но он не может знать, что он точен. Эта ситуация определенным образом связана с еще одной теоремой Гёделя, называемой обычно второй теоремой Гёделя о неполноте. Эта теорема (с некоторыми упрощениями) утверждает, что для систем с достаточно богатой структурой (а таковы системы, рассмотренные Гёделем в его пионерской работе), если такая система непротиворечива, то она не может доказать Стр. 201 собственную непротиворечивость. Однако это очень глубокий вопрос, и я собираюсь рассмотреть его более подробно в своих последующих книгах. 17 Вечные отмирающие числа Однажды вечером Крейг случайно повстречал Мак-Каллоха и Фергюссона. Они давно не виделись, все трое очень обрадовались встрече и решили вместе пойти куда-нибудь поужинать. — А знаете,— сказал Мак-Каллох, когда ужин подходил к концу,— меня уже давно занимает одна интересная проблема. — Это какая же? — поинтересовался Фергюссон. — Дело вот в чем,— продолжал Мак-Каллох.— Когда я занимался изучением различных числовых машин, то столкнулся с тем, что практически в каждой машине одни числа оказываются для нее приемлемыми, а другие нет. Допустим, я ввожу в машину какое-то приемлемое число X. Тогда число Y, которое порождается этим X, вновь оказывается либо приемлемым, либо неприемлемым. Если Y неприемлемо, то на этом весь процесс заканчивается. Если же Y оказывается приемлемым числом, то я опять ввожу его в машину и смотрю, какое число Z выдаст мне машина на этот раз. Если теперь число Z оказывается неприемлемым, то на этом процесс останавливается; если же оно приемлемо, то я вновь ввожу это число в машину и процесс продолжается как минимум еще один цикл. Если я буду повторять такую процедуру снова и снова, то при этом возможны два варианта: либо я в конце концов получу неприемлемое число, либо описанный процесс будет длиться бесконечно. В первом случае я называю число X отмирающим относительно данной конкретной машины, во втором случае число X я называю вечным. Конечно, любое число может быть отмирающим для одной машины и вечным для другой. — 125 —
|