|
Условие Мс2. Для любого числа X утверждение 9X истинно тогда и только тогда, если утверждение X не является истинным. Найдите такое число N, при котором утверждение N истинно, но недоказуемо в данной системе. 8. Предположим, что в условии Mс1 говорится не о «первой машине Мак-Каллоха», а о «третьей машине Мак-Каллоха». Попробуем теперь найти такое утверждение, которое было бы истинным, но недоказуемым. 9. Парадокс ли это? Вернемся вновь к задаче 1, однако внесем в нее некоторые изменения. Вместо символа Р мы будем использовать символ В (в силу определенных психологических причин — каких именно, станет ясно из дальнейшего). Определение «утверждения» остается тем же, что и раньше, только на этот раз символ Р везде заменяется на символ В. Таким образом, наши Стр. 193 утверждения принимают теперь вид: В—X, NB — X, ВА—X, NBA—X. Все утверждения, как и прежде, делятся на две группы — истинные и ложные, причем нам не известно, какие именно из утверждений истинны, а какие — ложны. Далее, вместо машины, печатающей различные утверждения, у нас теперь имеется ученый-логик, который верит одним утверждениям и не верит другим. Когда мы говорим, что наш логик не верит какому-то утверждению, мы вовсе не имеем в виду, что он обязательно сомневается в нем или отвергает его; просто неверно, что он верит в это утверждение. Другими словами, он либо считает его ложным, либо вообще не имеет о нем никакого мнения. Таким образом, символ В (от англ. believe — верить) означает «то, во что верит логик». Тогда для любого выражения X у нас есть четыре интерпретации выражений, содержащих X: В1: утверждение В — X истинно тогда и только тогда когда логик верит в X; В2: утверждение NB— X истинно тогда и только тогда когда логик не верит в X; В3: утверждение ВА—X истинно тогда и только тогда когда логик верит в X—X; В4: утверждение ВА—X истинно тогда и только тогда, когда логик не верит в X—X. Предполагая, что наш логик точен, то есть что он не верит в ложные утверждения, мы можем, разумеется, найти некое утверждение, которое является истинным, но о котором логик не знает, что оно истинно. Таким утверждением будет высказывание NBA — NBA (которое говорит нам о том, что логик не верит в ассоциат выражения NBA, имеющий вид NBA — NBA). А дальше начинается нечто интересное. Предположим, нам известно об этом ученом-логике следующее. Обстоятельство 1. Наш ученый-логик знает логику не хуже нас с вами. Предположим, что он обладает абсолютными логическими способностями; это означает, что если ему заданы какие-нибудь логические посылки, то он может вывести из них все возможные суждения. — 120 —
|