Принцесса или тигр?

Обстоятельство 2. Логику известно, что выполняются условия В1, В2, В3 и В 4.

Стр.194

Обстоятельство 3. Логик всегда точен, то есть он не верит в ложные утверждения.

Далее, раз логику известно, что имеют место условия В1, В2, В3 и В4, и он может рассуждать так же логично, как мы с вами, ничто не мешает ему провести те же рассуждения, которые провели мы, прежде чем доказали, что утверждение NBA — NBA должно быть истинным. Ясно, что, как только он это проделает, он сразу поверит в утверждение NBA — NBA. Но как только он в него поверит, это утверждение становится опровергнутым, ибо смысл данного утверждения как раз и заключается в том, что наш логик в него не верит,— тем самым в конце концов окажется, что наш логик неточен!

Итак, не приходим ли мы к некоему парадоксу, если принимаем обстоятельства 1, 2 и 3? Конечно, нет, никакого парадокса здесь нет. Просто в последнем абзаце моего рассуждения допущена намеренная неточность! Не могли бы вы ее обнаружить?

Решени

1. Для любого выражения X утверждение NPA — X означает, что ассоциат выражения X не допускает распечатки. В частности, утверждение NPA — NPA означает, что ассоциат выражения NPA не допускает распечатки. Но ассоциатом NPA является само утверждение NPA — NPA! Следовательно, высказывание NPA — NPA утверждает невозможность собственной распечатки; другими словами, это высказывание истинно в том и только том случае, если оно не допускает распечатки. Отсюда следует, что оно либо истинно, но не допускает распечатки, либо ложно, но распечатку допускает. Последний случай исключается, поскольку машина является точной. Следовательно, нам остается лишь первая возможность: данное утверждение истинно, но не может быть напечатано машиной.

2. Выберем в качестве X утверждение Р—NPA — Р— NPA, а в качестве Y —NPA — Р—NPA. Утверждение X (которое имеет вид Р— Y) говорит нам о том, что утверждение Y допускает распечатку. Смысл самого Y

Стр.195

сводится к тому, что ассоциат утверждения Р—NPA не допускает распечатки. Но ассоциатом утверждения Р—NPA является X, значит, Y говорит нам о том, что X не допускает распечатки. (Между прочим, можно построить и другие X и Y, обладающие теми же свойствами: например, если взять в качестве X утверждение РА — NP—РА, а в качестве Y —утверждение NP— РА — NP— РА.)

Таким образом, у нас имеются два утверждения X и Y, причем X утверждает, что Y допускает распечатку, а Y утверждает, что X не допускает распечатки.

Предположим теперь, что X допускает распечатку. Тогда утверждение X окажется истинным, а это будет означать, что утверждение Y допускает распечатку. Но тогда Y окажется истинным, откуда будет следовать, что X распечатки не допускает. Тем самым мы приходим к противоречию, поскольку в данном случае X оказывается одновременно и допускающим, и не допускающим распечатку; следовательно, утверждение X не может быть напечатано. Далее, раз X не допускает распечатки, а Y как раз это и утверждает, то, стало быть, утверждение Y является истинным. Таким образом, мы имеем: