Принцесса или тигр?

Стр. 197

распечатки. Итак, если X истинно, то либо X, либо Z истинно, но не допускает распечатки. Если же X ложно, тогда Y не допускает распечатки и, следовательно, Y истинно — согласно (2) — и не допускает распечатки.

Итак: если X истинно, то по крайней мере одно из двух утверждений X и Z является истинным, но не допускающим распечатки. Если же X ложно, то истинным, но не допускающим распечатки, оказывается утверждение Y.

4. Пусть S есть утверждение вида RA—RA. Оно говорит нам о том, что ассоциат выражения RA (а ассоциат RA есть само S!) является опровержимым; следовательно, S истинно в том и только том случае, когда S опровержимо. Поскольку S не может быть одновременно и истинным и опровержимым, значит оно ложно, но неопровержимо.

5. а) Выберем в качестве X утверждение Р—RA — Р— RA, а в качестве Y —утверждение RA — Р—RA. Ясно, что X утверждает доказуемость Y, а Y утверждает опровержимость ассоциата выражения Р—RA (ассоциат Р—RA есть в данном случае просто само X). Итак, X утверждает, что Y доказуемо, а Y утверждает, что X опровержимо. (Другой вариант решения — принять за X утверждение РА—R — РА, а за Y —утверждение R — РА—R — РА.)

Далее, если Y доказуемо, то Y истинно, откуда следует, что X опровержимо и, следовательно, ложно, что в свою очередь означает, что Y недоказуемо. Таким образом, допущение о доказуемости Y приводит нас к противоречию; стало быть, оно неверно, и Y недоказуемо. Если же Y недоказуемо, то X ложно. Итак, мы имеем:

(1) X ложно;

(2) Y недоказуемо.

Теперь если Y истинно, то Y истинно и недоказуемо. Если же Y ложно, то X неопровержимо (поскольку Y утверждает опровержимость X), и поэтому в данном случае X ложно, но неопровержимо. Следова-

Стр.198

тельно, либо Y истинно, но недоказуемо, либо X ложно, но неопровержимо.

б) Возьмем в качестве X утверждение NP—NRA — NP—NRA, а в качестве Y —утверждение NRA — NP— NRA (или же за X можно принять NPA — NR — NPA, а за Y — NR — NPA — NR — NPA). Тогда, как читатель может убедиться сам, X утверждает недоказуемость Y, а Y утверждает неопровержимость X. Если X опровержимо, то X ложно; тогда Y доказуемо и, значит, Y истинно, откуда следует, что X неопровержимо. Следовательно, X неопровержимо и, кроме того, Y истинно. Если же X ложно, то X ложно и неопровержимо. Если, наконец, X истинно, то Y недоказуемо; поэтому в данном случае Y будет истинным и недоказуемым.

Обсуждение. По аналогии предположим, что на нашем острове, где живут рыцари и плуты, имеются еще два обитателя X и Y, причем X заявляет, будто Y —признанный рыцарь, а Y утверждает, что X—отъявленный плут. Единственный вывод, который можно сделать,— это что один из них (мы не знаем, кто именно) должен оказаться либо непризнанным рыцарем, либо неотъявленным плутом. Точно такая же ситуация будет иметь место, если X станет утверждать, что Y непризнанный рыцарь, а Y заявит, что X—неотъявленный плут