|
Стр. 191 NRA—X. Кроме того, пусть нам известно, что первая машина печатает только истинные утверждения, а вторая—только ложные. Условимся называть некоторое утверждение доказуемым в том и только том случае, если оно допускает распечатку первой машиной, и ложным — в том и только том случае, если оно: может быть напечатано второй машиной. Таким образом, символ Р означает «доказуемый» (от англ. provable), а символ R—«опровержимый» (от англ. refutable). 4. Найдите утверждение, которое было бы ложным, но неопровержимым. 5. Имеются такие два утверждения X и Y, что одно из них (правда, нам не известно, какое именно) должно быть либо истинным, но недоказуемым, либо ложным, но неопровержимым (мы не знаем, каким именно). Такие пары можно строить двумя способами, и соответственно я предлагаю вашему вниманию две задачи: а. Найдите такие высказывания X и Y, чтобы X утверждало доказуемость Y, a Y утверждало опровержимость X. Далее, покажите, что одно из них (мы не можем сказать, какое именно) либо истинно, но недоказуемо, либо ложно, но неопровержимо. б. Найдите такие высказывания X и Y, чтобы Х утверждало недоказуемость Y, а Y утверждало неопровержимость X. Далее покажите, что одно из этих высказываний, X или Y (мы не можем сказать, какое именно), либо истинно, но недоказуемо, либо ложно, но неопровержимо. 6.А теперь рассмотрим задачу с четырьмя неизвестными! Пусть нам требуется найти такие высказывания X, Y, Z и W, чтобы X утверждало доказуемость Y, Y утверждало опровержимость Z. Z утверждало опровержимость W, a W утверждало бы неопровержимость X. Покажите, что одно из этих четырех высказываний должно быть либо истинным, но недоказуемым, либо ложным, но неопровержимым (хотя, какое из этих четырех будет именно таким высказыванием, сказать невозможно). Стр.192 Машина Мак-Каллоха и теоремы Гедел Возможно, читатель уже отметил определенное сходство приведенных выше задач с некоторыми свойствами первой машины Мак-Каллоха. В самом деле, работа этой машины оказывается связанной с теоремой Гёделя, и вот каким образом. 7. Пусть у нас имеется некоторая математическая система, приводящая к набору утверждений, одни из которых называются истинными, а другие — доказуемыми. Мы предполагаем также, что эта система правильная, то есть каждое доказуемое в ней утверждение является истинным. Далее, пусть каждому числу N ставится в соответствие некоторое утверждение, которое мы будем называть утверждением N. Предположим наконец, что наша система удовлетворяет следующим двум условиям. Условие Мс1. Для любых чисел X и Y, если число X порождает число Y в первой машине Мак-Каллоха, утверждение 8Х истинно тогда и только тогда, если утверждение Y доказуемо. (Напомним, что число 8Х это не 8, умноженное на X, а цифра 8, за которой стоит число X.) — 119 —
|