Гиперкомплексное исчисление в физике

Август 2001 – Март 2002

Физическая теория и гравитация над квазигруппами / Фундаментальные проблемы естествознания и техники. Труды Международного Конгресса. Т. 1. – СПб: Изд. СпбГУ, 2002. С. 31.

Октетная механика в астрофизике и космологии / Фундаментальные проблемы естествознания и техники. Труды Международного Конгресса. Т. 1. – СПб: Изд. СпбГУ, 2002. С. 50.

ОТ АЛГЕБРЫ СИММЕТРИИ – К ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫМ УРАВНЕНИЯМ

© Верещагин И. А.

Пермский государственный технический университет, БФ, ivereschagin@bf.pstu.ac.ru

При изучении физического явления, техники и технологических процессов заказчик, постановщик задачи, инженер-математик, экспериментатор и производственник объединены одной проблемой. Задачи естественных и технических наук структурно похожи, их решения проходят следующие стадии.

1. Качественно определяется изучаемый объект в физике, технике и технологии.
2. Находится группа (или моноид) его состояний – желательно симметричных относительно какого-либо простого комплекса идентификаций.
3. Описывается группа (или моноид) преобразований, или перехода из состояния в состояние, от процесса к процессу.
4. Строится формализм состояний и процессов перехода между ними: записываются в единицах построенной алгебры симметрии А предметный и операционный термы (начальные выражения).
5. Эти термы симметризуются операцией умножения или еще каким-либо математическим процессом.
6. Получается система уравнений, в том числе дифференциальных уравнений в частных производных.
7. Строится отображение в евклидово пространство n измерений.
8. Подбираются методы решения системы уравнений, в том числе численные.
9. Возможно математическое моделирование процессов на ПК.
10. Находятся решения и регулярные области их существования.
11. Анализируется топология регулярных решений.
12. Для многосвязных областей регулярных решений ищутся методы и способы взаимосвязи областей.
13. Находятся новые степени свободы движения и состояния объекта.
14. Подготавливается опытная или производственная база для исследования путей экспериментального подтверждения предсказаний теории и получения научного и производственного эффекта.
15. При обнаружении аномалий в поведении объекта вносятся коррекции в формализм и методику в целом, меняется постановка эксперимента.
16. Кардинально модифицируется экспериментальная часть.

И так далее. Рассмотрим пример.

Дано множество элементов А = {a, b, c, …}. Операции тиражирования и компоновки позволяют составлять из элементов множества «слова». Это свободная алгебра. Если в свободную алгебру А ввести семейство тождественных отношений t, получится приведенная алгебра А. Векторная алгебра V3 над векторным пространством V3 приводится операцией умножения векторов ? ? [xy] = – [yx], [[xy]z] + [[yz]x] + [[zx]y] = 0. Эти свойства определяют лиеву структуру алгебры V3. Пространство кватернионов К содержит лиеву алгебру. Пространство октав О содержит бинарно лиеву алгебру [1]. Используется идея построения алгебр Гейзенберга: на образующих единицах алгебры записываются операторный и предметный термы, затем – их произведение по таблице умножения. В результате получается система уравнений. Симметрия пространства и времени отражена в структуре пространства К. На матрицах Паули, изоморфных кватернионам, Дирак записал уравнение электрона и предсказал существование его античастицы. В пространстве О симметризуются обобщенные координаты пространства и импульса, энергия и время. На базе пространства О строятся многие физические теории, в том числе октетная механика [2]. Новые эффекты в таком направлении обнаруживаются на «стыке» прежних частных формализмов, содержащихся в обобщенном формализме.