Гиперкомплексное исчисление в физике

Определение 2. Квазимоноидом называется объект Q = {M, S, P}, где S не содержит операции деления (нет обратного элемента).

Постулат 1: Объект Q ? Q(F) = Q ? F, где F – множество непрерывных функций, является математической основой соответствующей физиче­ской теории Ф ? Ф(Q).

Постулат 2: Действие системы операторов G над Q генерирует систему уравнений движения и состояний физики Ф ? Ф(G, Q).

Постулат 3: Существует отображение ?: GQ ? Ф(Rn), где n = dim Q.

В общем виде модель физики Ф = {Q, G, I}, где I – система интерпре­тации, включающая содержательное обоснование, и М – предметное множество. В случае D ? G, где D – множество дифференциальных опе­раторов, получим подмножество дифференциальных моделей физики Фd ? Ф.

Ближайшим к ассоциативным алгебрам объектом Q является альтер­нативная алгебра октав О. Она нормирована и над полем Р действитель­ных чисел R образует октетное пространство О, над которым действует G, включающая множество дифференцируемых функций Fd ? F и диф­ференциальных операторов D.

Пример 2. Пусть U =, где jn – единицы алгебры октав, Un – n-я переменная на множестве дифференцируемых реальных функций от ве­щественных компонент zn октетной переменной z = z0 + j1z1 + … + j7z7, zn ? R. Выражение U = uT + ix + jy + kz + m’(?H + ipx + jpy + kpz)E, где u – константа размерности (характерная скорость, u = c – постоянная Лобачевского), T = T(t, x, y, z, px, py, pz) – физическая длительность, или провремя, t – параметрическое (евкли­дово) время, x, y, z – параметрические пространственные координаты (материальной точки), m’ – константа связи между кватернионами раз­мерности кг/c, ? – постоянная размерности, H = H(t, x, y, z, px, py, pz) – энергия (функция Гамильтона), px, py, pz – импульсные координаты (ма­териальной точки), а единицы jn переобозначены согласно законам ум­ножения в О, называется предметным термом. Выражение, представ­ляющее собой обобщение дифференциального оператора Гамильтона ? на восемь целочисленных измерений, ? = ?/u?t + i?/?x + j?/?y + k?/?z + m’(? + i?/?px + j?/?py + k?/?pz)E, где ? – константа размерности, – оператор, аналогичный гамиль­тониану (в квантовой механике), – называется операторным тер­мом октетной физики (1). Произведение образующих: ?U называется ядром октетной физики.

Тогда для U / I имеет место:

Основная теорема: Статичность гиперсферы U 2 = R 2 в пространстве О является 1агружеем существования уравнений движения в R8 .

Действительно, UU = (U)U + U(U) = 0, и ввиду альтернатив­ности умножения отсюда следует: UU = 0. Умножая по­следнее уравнение слева на U и сокращая на R 2, придем к равенству: U = 0. Полученные восемь уравнений после сокращения гиперком­плексных единиц – вещественные: одно уравнение – для провремени Т, три уравнения – для компонент радиуса-вектора, одно уравнение – для энергии и три уравнения – для компонент импульса (см. ниже). Тем са­мым произведено конкретное отображение ?: D ? O(F) ? Ф(R8).