Бегство от удивлений

Однако вопреки протестам интуиции заставим себя вообразить, что расхождения все-таки обнаружились. Что это может значить?

Когда подобное случалось на поверхности, вывод был очевиден: поверхность имеет кривизну. А когда нарушения традиционной теоремы Пифагора объявятся в пустоте, резонно будет сказать, что это доказывает кривизну пространства. Прежде, будучи блином, я с помощью метрических теорем определял, какова моя поверхность, не сходя с нее. Теперь, став объемным геометром, я хочу совершенно аналогичным способом узнать, каково пространство: насколько и как оно искривлено. И снова—не выходя из него!

На сфере или седле я не мог построить плоскость и провести идеальную прямую линию. Вместо нее у меня выходили геодезические линии — прямейшие, но не прямые. Именно по ним шли кратчайшие расстояния между точками. Подобно этому, в кривом пространстве я не могу построить ни идеальной прямой, ни идеальной плоскости. Вместо плоскостей проведутся поверхности минимальной кривизны, а вместо прямых опять появятся геодезические линии — прямейшие, но не прямые. Однако изнутри, из пространства, непосредственно увидеть искривление его невозможно, потому что тамошние жители сделают кривыми все свои линейки и другие эталоны прямизны — подгонят их к располагающимся по геодезическим линиям световым лучам, натянутым нитям, путям инерционного полета тел, не подверженных действию сил, и т. д. Поверхности минимальной кривизны будут выглядеть плоскостями. Только исследования параллельных линий да метрические эксперименты помогут определить эту странную, почти невообразимую кривизну пустоты.

Трудновато? Да, нелегко.

Геометрическая возможность неевклидового пространства была неожиданным откровением науки XIX века.

Это открытие, сделанное в 1825 году, принадлежит гениальному русскому математику Николаю Ивановичу Лобачевскому.

Два варианта кривизны

Итак, мы с вами добрались до кривого пространства. Научились, кажется, устанавливать изнутри его сам факт кривизны: об этом может свидетельствовать нарушение евклидовых метрических теорем.

Геометры идут дальше: они умеют предсказывать, как именно изменится теорема Пифагора и сумма углов треугольника в пространствах, искривленных по-разному. Рассуждения похожи на те, что я вел, будучи блином на неизвестной поверхности. Например, если а2 + b2 + с2 меньше, чем S2, а сумма углов треугольника меньше двух прямых («пифагоровы штаны» и «треугольная шляпа» для пустоты «малы»), то пространство гиперболическое. Вместо плоскостей в нем седловидные поверхности, вместо прямых — гиперболы. Этот вариант неевклидовой геометрии и был разработан Лобачевским.