Бегство от удивлений

Разгадка поверхности

На плоскости — проще всего. Там все точно по Евклиду. А поэтому строгое соблюдение школьных теорем — верный признак плоскости. Какие треугольники ни строй, всегда сумма углов равна двум прямым.

Какие прямоугольные треугольники ни приставляй к расстоянию, всегда соблюдается равенство квадрата гипотенузы сумме квадратов катетов.

Жаль, что, будучи блином, я сразу не захватил с собой рулетку и транспортир. Имея их, я не возился бы с пересечением геодезических, когда определял, какова моя поверхность. Не ползал бы, не уставал. Начертил бы треугольник, посчитал бы сумму углов, вышло два прямых — значит, моя поверхность плоская. Или сделал бы проверку по теореме Пифагора. Совпала сумма квадратов катетов с квадратом гипотенузы — есть доказательство плоскости.

Будь моя поверхность неплоская, вышло бы как у геометра-футболиста и геометра-ковбоя. Сумма квадратов катетов больше квадрата гипотенузы («пифагоровы штаны» велики) — значит, я на шаре. Сумма квадратов катетов меньше квадрата гипотенузы («пифагоровы штаны» малы) — значит, я на седле. Аналогично с суммой углов треугольника. Больше она двух прямых — треугольник начерчен на сфере, меньше — на седле.

Надеюсь, сказанное до сих пор не внушило вам недоверия. Пока шли разговоры о поверхностях, ничуть не удивительно, что их кривизна связана с метрикой. Это — как резиновая игрушка «уйди-уйди». Вообразите, что тетрадная страничка с геометрическими чертежами тоже резиновая, раздуйте ее в пузырь, натяните на седло или бублик — размеры углов и длин на чертежах тотчас станут другими. Ничего странного[15].

Но через эти простые вещи мы с вами подходим к неизбежности труднейшего логического скачка — с кривой поверхности в кривое пространство. К определению его кривизны изнутри, без оценок «со стороны».

Глава 22. ВДОЛЬ ПРОСТРАНСТВА

От окна до киоска

Я уже не блин. Мне возвращена высота. Я покинул мир тесных, бесконечно тонких площадей, живу, как и вы, в объеме, в глубоком, раздольном пространстве. Хорошо! Есть где развернуться! Можно не только ползать, но и прыгать и летать. Это очень приятно.

Но мне не до развлечений. В бытность блином я привык беспрерывно исследовать кривизну своего мира, и теперь меня тянет заняться тем же в пространстве.

Прежде всего я намереваюсь придумать способ облачения пустоты в «пифагоровы штаны» и примерки к ней «треугольной шляпы».

Как это сделать?

Вот легонькая задачка из школьной стереометрии.

От моего окна (на пятом этаже) до газетного киоска на противоположной стороне улицы «напрямую» S метров. По тротуару от моего дома с метров, b — ширина улицы, а — высоты моего окна. Требуется найти S, не мешая уличному движению — не протягивая из окна к киоску туго натянутой веревки, а вычислив это расстояние через a, b и с.