Бегство от удивлений

Другая геометрическая система, развитая замечательным немецким математиком Георгом Риманом, получится, если а2 + b2 + с2 выйдет больше, чем S2, а сумма углов треугольника превысит два прямых. Эта геометрия называется эллиптической. В ней вместо плоскостей — поверхности вроде яичной скорлупы или мяча, вместо прямых — дуги больших эллипсов или, соответственно, больших кругов.

Позволю себе повторить еще раз: в плавно искривленном пространстве все геодезические линии представляются прямыми. «Истинных» же прямых там нет, их невозможно провести. Любая неизбежно согнется, как обязательно согнется нить, натянутая по сфере. Причем, если пространство искривлено неравномерно, в разных местах по-разному, то и прямейшие геодезические линии в разных точках согнутся неодинаково. При движении вдоль геодезической ее «волнистость», конечно, незаметна. Всюду эта линия выглядит одинаково прямехонькой. Однако стоит испытать в разных местах метрические правила, как обнаружатся изменения, отклонения от привычной евклидовой «нормы».

Короче говоря, в неравномерно-неевклидовом пространстве от точки к точке меняется метрика, приемы определения расстояний. Меняется теорема Пифагора. В общем виде простая формула ее заменяется более сложной, включающей величины, которые характеризуют кривизну пространства в разных его местах. И, как следствие, в разных местах такого пространства оказываются разными длины предметов, кратчайшие расстояния между точками.

Вот такие чудеса допускают геометры в неевклидовом пространстве!

Сфера Пуанкаре

Еще диковина: некоторые неевклидовы пространства могут быть конечными, хоть и безграничными. Расстояния там не превышают некоего определенного значения и, соответственно, не могут существовать сколь угодно большие объемы.

Подобно тому, как яйцо или мяч обладают безграничной поверхностью, но ограниченной площадью, эллиптическое пространство не имеет границ и тем не менее имеет конечный объем. Искривляясь оно как бы замыкается на себя!

Странно? Очень.

Но все же доступно наглядному моделированию.

Французский математик Анри Пуанкаре один из предшественников Эйнштейна, ухитрился придумать любопытную модель замкнутого сферического пространства. Вот что он советует вообразить.

В шаровом сосуде находится некая среда, в которой плавают предметы и существа, наделенные весьма фантастическими свойствами. При охлаждении и среда и предметы абсолютно одинаково сжимаются, причем при нуле градусов обращаются в точки. Кроме того, световые лучи в этой среде преломляются тем сильнее, чем ниже температура. Шар снаружи заморожен до нуля градусов. А изнутри, из центра, разогрет. И от центра к периферии температура плавно снижается. Еще условие: существо в шаре не должно ощущать перемен температуры. Ему всегда «не жарко, не холодно». Вот и все.