Бегство от удивлений

Пусть даны две точки А и В — концы разведенных и крепко свинченных ножниц. И пусть расстояние между ними нужно определить по поверхности. Сразу задаем вопрос: по какой поверхности?

Ну, сперва по шаровой.

Хорошо. Подставим под ножницы глобус. Кратчайшее расстояние на его сфере физик проведет вдоль нити, натянутой между A и В по шаровой поверхности. Оно отмеряется, очевидно, не прямой линией, а кривой — дугой большого круга.

Далее. Посадим наши точки на какую-нибудь седловидную поверхность. Расстояние, проложенное туго натянутой ниткой, будет пройдено по другой кривой линии — гиперболе.

Если же концы ножниц приложить к поверхности письменного стола, то расстояние между ними отмерится по линии, которую мы привыкли называть прямой.

Вот, кажется, добрались до прямизны. Срезав ножом седло или шар, получаем поверхности, в которых линии кратчайших расстояний — наикратчайшие. Так как будто?

Но можно ли быть абсолютно уверенным, что линия на столе абсолютно прямая? И что сам стол плоский?

Кажется, вопросы надуманные. Кажется, плоскость потому и плоскость, что она прямее всех поверхностей.

В действительности дело обстоит сложнее. Все зависит от пространства, в котором стоит наш стол. Само пространство, с точки зрения геометра, вправе быть искривленным. И в конечном счете именно от кривизны пространства зависят кратчайшие расстояния.

Я — блин

Для новичка это очень странные слова — «кривизна пространства». Чтобы привыкнуть к ним, ответим сначала на несколько риторических вопросов.

Как мы узнали, что глобус круглый?

Посмотрели на него со стороны, из окружающего пространства.

Как мы узнали, что классная доска прямая?

Взглянули на нее откуда-то сбоку, опять-таки из окружающего пространства.

А как узнать, прямое ли само пространство?

И на пространство «поглядеть сбоку»? Но это невозможно. Нельзя покинуть пространство, выйти из него, как из дома, чтобы полюбоваться на него издали. Как ни убегай из него, все равно останешься в нем же.

Выходит, нет способов определить, кривое пространство или прямое?

Попробуем все же поискать их. Попробуем исследовать пространство изнутри, не выходя из него. Но не сразу.

Я сперва расскажу, как решается аналогичная задача для поверхности: постараюсь узнать, какова поверхность, не глядя на нее «сбоку», а находясь непосредственно на ней.

Ради наглядности я готов «разбиться в лепешку». Буквально так.

Смотрите: я полностью теряю свой рост, объем, превращаюсь в бесконечно тонкий блин и оказываюсь либо на сфере, либо на седле, либо на плоскости — сам не знаю где.