Субквантовая хронодинамика

Если (I.1.2) умножить слева на оператор , то получим уравнения Лапласа: ?u = 0, ?v = 0.

Двумерная механика Гамильтона получается из уравнения

где – операторный терм для двух переменных t, x; – предметный терм для величин (константы размерности для краткости опущены). Для обобщенных координат .

В плоскости Z(t, ix) величины Н, связаны СЭД:

Если – обобщенные координаты, то отсюда получим уравнения:

Тем самым, см. (I.1.1) и (I.1.2), доказана

Теорема 1: Функция f(z) = u(x, y) + iv(x, y) дифференцируема тогда и только тогда, когда она рассматривается в точке экстремума (в седловой точке, в точке «горизонтального» перегиба или двойного перегиба).

Теорема 2: В пространстве Z’ ? Z без источников дважды дифференци­руемая функция f(z) в точке экстремума удовлетворяет уравнениям Лапласа: , инвариантным относительно SO(2).

Гидромеханический смысл комплексных функций

Пусть функции u(x, y), v(x, y) рассматриваются как потенциал скоростей и функция тока, соответственно [27]. Тогда для производной f ?(z) = ?(x, y) + i?(x, y) выполняется уравнение неразрывности: . Циркуля­ция скорости: . Функцию f(z) можно представить в виде

где m – мощность источника а ? Z, Г – интенсивность вихря b ? Z. В классической задаче обтекания цилиндра строятся линии тока и равных потенциалов (источники и стоки – на ?).

Механика в пространстве кватернионов K

Запишем операторный терм для четырех переменных: . Предметный терм есть , где H – функция Гамильтона, – ?-компонента импульса p, . Константы размерности для краткости опущены. Если , {} – обобщенные координаты, то из условия ?U = 0 получим систему уравнений:

Если , где ? – потенциальная энергия, то придем к системе уравнений классической механики для движения тела в потенциальном поле, с сохранением энергии . Если , то характер движения определяется в центрально-симметричном поле.

Электродинамика в пространстве кватернионов K

Запишем произведение термов в пространстве K (с = 1):

где ? – скалярный электрический потенциал, A – векторный магнитный потенциал. Отсюда уравнения посткватернионной электродинамики:

Полагая H = rot A, E = – grad ?, из (I.1.9) получим систему: