Опыт о человеке

И тем не менее Пифагорово открытие было лишь пер­вым шагом в развитии естественных наук. Вся пифагорей­ская теория числа была внезапно поставлена под вопрос неким новым фактом. Когда пифагорейцы обнаружили, что в прямоугольном треугольнике сторона, противолежащая прямому углу, несоизмерима с двумя другими сторонами, они столкнулись с совершенно новой проблемой. Во всей истории древнегреческой мысли и особенно в диалогах Пла­тона чувствуются глубокие отзвуки этой дилеммы. Ведь она означала подлинный кризис древнегреческой математики. Никто из древних мыслителей не смог решить эту проблему нашим современным способом, т.е. введением так называ­емых “иррациональных чисел”. С точки зрения древнегре­ческой логики и математики, иррациональные числа были противоречием в терминах. Они были невыразимы, схррдтоу, вещью невозможной для мысли и для речи9. Поскольку число определялось как целое число или как отношение между целыми числами, несоизмеримые отрезки были от­резками, которые не допускали никакого числового выра­жения, которые уничтожали, не ставили ни во что логичес­кую силу числа. Пифагорейцы искали и нашли в числе со­вершенную гармонию всякого рода бытия и всех форм зна­ния, восприятия, интуиции, мысли. С этого момента ариф­метика, геометрия, физика, музыка, астрономия стали ка­заться формой единого и взаимосогласованного целого. Все вещи в небесах и на земле стали “гармонией и числом”10. Открытие несоизмеримых отрезков было, однако, крахом этого тезиса: это ведь означало, что подлинной гармонии между арифметикой и геометрией, между областью дис­кретных чисел и непрерывных количеств не существует.

Потребовались многовековые усилия математической и философской мысли для того, чтобы восстановить эту гар­монию. Логическая теория математического континуума — одно из позднейших достижений математической мысли1'. А ведь без такой теории любое введение новых чисел — дробных, иррациональных и т.д. —всегда представлялось делом проблематичным и рискованным. Если бы было воз­можно силой человеческого духа создать произвольно об­ласть новых вещей, нам пришлось бы изменить все наши представления об объективной истине. Но вся эта дилемма теряет силу, если принимается во внимание символический характер числа: тогда сразу становится ясно, что введение новых классов чисел создает лишь новые символы, а не новые объекты. Натуральные числа в этом отношении ничем не отличаются от дробей или иррациональных чисел. Они