Продуктивное мышление

18. Теперь вернемся назад. Почему описанные про­цедуры «уродливы»? В чем здесь дело?

1. Разве операции выполнены неправильно? Нет, в некоторых примерах операции выполнены совершенно правильно.
2. Разве недостает универсальности? Нет, примеры носили самый общий характер и тем не менее оказались уродливыми (см. пункты 11, 15).
3. Разве недостает наглядности в доказательстве? Нет, некоторые примеры содержат доказательство.

60

Если мы рассмотрим конкретные действия в этих ди­ких примерах, посмотрим, как ученики подходят к задаче, каким образом отдельные этапы мышления связаны с его» общим направлением, то ответ покажется очевидным: я хочу решить задачу, я столкнулся с проблемной ситуаци­ей; я хочу понять, как можно прояснить задачу, чтобы до­стичь ее решения. Я стараюсь понять, как определяется площадь, как она «встроена» в эту фигуру; я хочу по­нять это. Вместо этого приходит некто и говорит, что я должен делать то-то и то-то, например вычислить 1/а, или 1/b, или (а— b), или (а—b)2, то есть делать вещи, внут­ренне совершенно не связанные с задачей, ведущие меня в другом направлении, — в направлении, чуждом задаче. Почему я должен делать именно это? Мне говорят: «И все-таки делай», а затем добавляется новый шаг, опять веду­щий в непонятном направлении. Эти шаги совершенно непонятны, их содержание, направление, весь процесс не обусловлены внутренними требованиями ситуации, кажут­ся произвольными, не связанными с вопросом, каким об­разом площадь структурно строится из меньших единиц именно в такой форме. В конце концов эти шаги приводят к правильному или даже доказанному результату. Но сам этот результат воспринимается так, что он не приводит к пониманию и ничего не проясняет. И это относится ко всем примерам и с доказательствами, и без доказательств.

«Послушайте, — скажет возмущенный читатель, — а не требуете ли вы от человеческого мышления слишком мно­гого?» Нет, не требую; к счастью, встречаются не столь слепые процессы.

19. Как показывают реакции детей, позитивный, про­дуктивный ход мышления имеет совершенно иной харак­тер. Вопрос о площади в смысле суммы маленьких еди­ничных квадратов рассматривается в связи с фигурой, в связи с ее характерной формой; ребенок обнаруживает, что существуют параллельные ряды, которые прилегают друг к другу, равны друг другу, содержат одинаковое чис­ло маленьких квадратов. Затем число квадратов в одном таком ряду, определяемое длиной одной из сторон, умно­жается на число рядов, определяемое длиной другой сто­роны. Здесь важно понять, что площадь структурирована в соответствии с характерной формой фигуры. Ни один из предполагаемых шагов не является произвольным, не связанным с внутренней природой проблемной ситуа­ция.