Продуктивное мышление

Формула оказывается в равной степени применимой, когда ряд оканчивается нечетным числом, например:

1 Например, даже формула Или сравните со слепым обобщением формулы в виде формулы

2Психологическое различие объективно выражается в реакци­ях на измененные задания. См. с. 148—149.

144

Здесь описанная группировка иногда вызывает колеба­ния: что делать с числом, которое нельзя объединить в пару? В этом случае необходим следующий шаг. Это от­дельное число может привести к неожиданной догадке: «Это число, должно быть, является половиной пары,

И после некоторого обдумывания выясняется, что это не меняет формулы: есть 3 пары и остаток в сере­дине, который теперь рассматривается как половина пары 1.

Существуют другие способы продуктивных и осмыс­ленных действий. Следующая последовательность дейст­вий одиннадцатилетнего мальчика подобна только что описанной. После того как я просто спросил его: «Че­му равно 1+2+3+4+5+6+7+8+9?» — он недовольно сказал: «Должен ли я их сосчитать?» «Нет», — ответил я. Неожиданно улыбнувшись, он сказал: «На конце на­ходится число 9. 8 плюс 1 в начале ряда тоже равно 9, и то же должно быть для других пар...» — и назвал ответ.

2. Другой способ, найденный двенадцатилетним маль­чиком, начинался иначе. Задание было таким: 1+2+3+ + 4 + 5 + 6+7.

Когда его попросили не вычислять сумму шаг за ша­гом, он медленно проговорил: «Эти числа последователь­но увеличиваются...» А затем с неожиданной радостью: «А, у меня есть идея! Я просто возьму число, стоящее в середине, и умножу его на количество членов последова­тельности, которое, конечно, равно последнему числу». Было ясно, что для него это открытие. Когда его попро­сили объяснить, что он имеет в виду, он взял среднее

число 4 и умножил его на 7. Когда ему дали ряд, оканчи­вающийся на 8, он взял среднее между 4 и 5 значение, то есть 4.

На языке общей формулы это означает: с · п (средний член, умноженный на n), или Эта формула структурно отличается от первой, в которой n+1 было суммой каждой пары, а n/2 — числом пар.

Я хотел еще лучше понять, что он имел в виду и как он достиг решения. Он не мог дать какую-либо ясную ма­тематическую формулировку, но сказал: «Числа последо­вательно увеличиваются. Это означает, что центральное число важно для определения суммы. Числа увеличива­ются к правому концу ряда, они уменьшаются к его ле­вому концу. Таким образом, то, что прибавляется при движении направо, отнимается при движении налево» (см. рис. 74).