Продуктивное мышление

Вот лучшие из типичных процессов, которые я обна­ружил.

1. Сначала не было заметно, что человек решает за­дачу. Затем: «При заданной последовательности чисел, которые нужно сложить, конечно, правильно складывать их в порядке следования — но это так утомительно». Вдруг: «Это не просто любая последовательность; числа последовательно возрастают, шаг за шагом, — этот факт может... он должен иметь какое-то отношение к сумме. Но как эти две вещи связаны друг с другом — форма по­следовательности и ее сумма, — какова внутренняя связь между ними, остается неясным; я каким-то образом чув­ствую это, но не могу это понять».

Через некоторое время: «У ряда есть направление воз­растания. У суммы нет направления. Так вот: возраста­ние слева направо связано с соответствующим убыванием справа налево! Этот факт должен иметь отношение к сумме. ? все больше и больше; ? все меньше и меньше — в той же пропорции. Если двигаться слева направо, от первого числа ко второму, то увеличение будет равно единице; если двигаться спра­ва налево, от последнего числа к предпоследнему, то уменьшение будет равно единице. Следовательно, сумма первого и последнего числа должна быть той же, что и сумма следующей внутренней пары. И это должно быть так всюду!»

«Остается только ответить на вопрос: сколько таких пар? Очевидно, что число пар равно половине всех чисел, следовательно, равно половине последнего числа».

В сущности, здесь происходит перегруппировка, реор­ганизация ряда в свете данной задачи. Это не слепая пе­регруппировка, она естественно возникает по мере того, как испытуемый старается постичь внутреннюю связь

143

между суммой ряда и его структурой. В этом процессе различные элементы явно приобретают новый смысл, но­вое функциональное значение. 9 теперь рассматривается не как 8+ 1, а как 10—1, и т. д.

Если подобным образом приходят к общей формуле

то рассматривают ее члены в свете такой структуры: (n+1) представляет величину пары, число пар. Но многие знающие только формулу, подходят к ней совершенно слепо. Для них все формулы

попросту эквивалентны 1. Для них, по-видимому, оба n означают одно и то же. Они не осознают, что в случае пер­вой формулы n в выражении n+1 является одним из членов пары, тогда как n в означает число членов ряда, определяющее число пар. Конечно, эти четыре формулы приводят к одному и тому же конечному результату и яв­ляются в некотором смысле эквивалентными, но психоло­гически они не эквивалентны 2. В действительности они различны и с логической точки зрения, если рассматривать их в отношении их формы и функции, а не только в терми­нах внешней эквивалентности. Конечно, это логический вопрос, но только при условии, что из логики не исключа­ется функциональное значение членов, генетический во­прос, вопрос подхода к формуле — вопрос осмысленного нахождения или понимания формулы.