|
G11 G12 G21 G22 За счет симметрии, о которой шла речь выше, G12 будет равно G21 . Для метрики Пуанкаре эти два «недиагональных» элемента по определению равны нулю. Равенство двух других элементов — G11 и G22 не обязательно, но в случае метрики Пуанкаре оно имеет место: оба эти элемента по определению равны 4/(1-x2-y2)2. Любой паре координат x и y , выбранной внутри единичного круга, метрический тензор ставит в соответствие определенный набор коэффициентов. Так, например, для x = 1/2 и y = 1/2 элементы G11 и G22 будут оба равны 16, оставшиеся же два коэффициента равны нулю для любой точки единичного круга. Что же делать дальше с полученными числами? И как эти коэффициенты соотносятся с расстоянием? Нарисуем внутри единичного круга небольшую кривую, однако рассмотрим ее не как неподвижный объект, а как траекторию частицы, движущейся из точки А в точку В. Чему же равна длина этой траектории для данной метрики Пуанкаре? Для того чтобы ответить на этот вопрос, рассмотрим кривую s и разделим ее на крошечные линейные участки — настолько крошечные, насколько это только можно представить, — и сложим их длины между собой. Длину каждого из линейных участков можно найти при помощи теоремы Пифагора. Для начала определим величины x , y и s параметрически, то есть представим их как функции времени: x = X(t) , y = Y(t) и s = S(t) . Производные этих функций — X'(t) и Y'(t ) — можно рассматривать как катеты прямоугольного треугольника; их подстановка в теорему Пифагора ?([X'(t)]2+[Y'(t)]2) дает значение производной S'(t). Интегрирование от А до В позволяет определить длину всей кривой. В свою очередь каждый линейный сегмент представляет собой касательную к кривой, называемую в данном случае касательным вектором. Однако поскольку кривая находится на круге Пуанкаре, то перед интегрированием полученный результат нужно умножить на значение метрики ?([X'(t)]2+[Y'(t)]2)??(4/(1-x2-y2)2) , чтобы ввести поправку на кривизну. Для дальнейшего упрощения полученной картины приравняем Y(t ) к нулю и таким образом ограничимся осью x . Затем начнем движение с постоянной скоростью вдоль оси x из точки 0 в точку 1. Если время также будет изменяться от 0 до 1, то уравнение движения будет иметь вид X(t) = t , и при Y(t) = 0 , что предполагалось изначально, производная X'(t) = 1, поскольку производная от X в данном случае берется по отношению ко времени, а значение X всегда равно значению времени. Если представить производную в виде отношения, то последнее уравнение станет очевидным: в этом примере производная по X — это отношение изменения переменной X к изменению переменной X , а любое отношение такого вида — с одинаковым числителем и знаменателем — всегда равно 1. — 83 —
|