Теория струн и скрытые измерения Вселенной

На плоской, евклидовой поверхности все очень просто: нужно только сохранять направление и длину каждого вектора. На искривленных поверхностях и для произвольных многообразий условие постоянства длин и углов сохраняется, хотя и несколько усложняется по сравнению с евклидовым пространством.

Особенность кэлерова многообразия состоит в следующем: если при помощи операции параллельного переноса переместить вектор V из точки P в точку Q вдоль заданной траектории, то результатом этого перемещения станет новый вектор W1 . Применив к вектору операцию поворота на 90 градусов (J-операцию), мы получим новый вектор JW1 . С тем же успехом можно сначала применить к вектору V операцию поворота (J-операцию), в результате которой возникнет новый вектор JV, по-прежнему начинающийся в точке P . Если после этого параллельно перенести вектор JV в точку Q и полученный вектор назвать W2 , то в случае кэлерова многообразия векторы JW1 и W2 будут идентичны вне зависимости от пути перемещения между точками P и Q . Можно сказать, что на кэлеровом многообразии J-операция инвариантна относительно параллельного переноса. Для комплексных многообразий в общем случае это не так. Можно сформулировать это условие и в другом виде: на кэлеровом многообразии параллельный перенос вектора с последующим его поворотом аналогичен повороту вектора с последующим параллельным переносом. Эти две операции коммутируют — поэтому не имеет значения, в каком порядке их выполнять. В общем случае это не так, как наглядно объяснил Роберт Грин: «Открыть дверь и затем выйти из дому — это далеко не то же самое, что выйти из дому и лишь затем открыть дверь».

Основная идея параллельного переноса проиллюстрирована на рис. 4.3 для поверхности с двумя вещественными измерениями или одним комплексным (поверхность с большим числом измерений нарисовать проблематично). Впрочем, этот случай скорее тривиален, поскольку число возможных направлений поворота ограничено числом два: влево и вправо.

Однако уже для двух комплексных измерений (четырех вещественных) число векторов определенной длины, перпендикулярных любому заданному вектору, бесконечно велико. Эти векторы образуют касательное пространство, которое в двухмерном случае можно представить как огромный кусок фанеры, лежащий на верхушке баскетбольного мяча. В этом случае знание того, что необходимый нам вектор перпендикулярен некоему другому, известному нам, едва ли заметно упростит его нахождение — если только многообразие, которому он принадлежит, не является кэлеровым. Для кэлерова многообразия, зная вектор, полученный при повороте на 90 градусов (J-преобразовании) в одной из точек многообразия, можно точно предсказать величину и направление подобных векторов в любой другой точке, поскольку параллельный перенос дает возможность переместить этот вектор из первой точки во вторую.