Теория струн и скрытые измерения Вселенной

Страница: 1 ... 7374757677787980818283 ... 302

Одной из важных особенностей многообразий является их гладкость . Это свойство прямо вытекает из их определения, поскольку из сходства каждого малого участка поверхности с евклидовым пространством напрямую следует гладкость поверхности во всех точках. Геометры говорят о гладкости многообразия даже в том случае, если оно имеет некоторое количество «странных» точек, в которых условие локальной евклидовости не выполняется — например, точка пересечения двух линий. Такие точки носят название топологических сингулярностей , поскольку их в принципе невозможно сгладить. Вне зависимости то того, насколько мала выбранная вокруг такой точки окрестность, пересечение все равно останется пересечением.

Подобные вещи постоянно встречаются в римановой геометрии. В начале преобразования объект может быть гладким и простым для исследований, но стоит нам приблизиться к определенному пределу — скажем, постепенно заостряя его форму или срезая углы, — и возникновение сингулярности станет неизбежным. Впрочем, геометры обычно столь либеральны в этом вопросе, что даже пространство, имеющее бесконечно большое число сингулярностей, в их глазах все равно остается многообразием — в этом случае они называют его сингулярным пространством , или сингулярным многообразием , и рассматривают как предельную форму гладкого многообразия. При этом вместо двух линий, пересекающихся в одной точке, чаще рассматривают плоскости, результатом пересечения которых будет линия.

Это и есть грубое определение понятия многообразия. Теперь что касается слова «комплексное». Комплексным называется такое многообразие, каждой точке которого можно сопоставить определенное комплексное число. Подобное число имеет вид a + ib , где а и b — действительные числа, a i — так называемая мнимая единица, определяемая как квадратный корень из -1. Как и координаты точки на плоскости, которые можно изобразить на графике с двумя осями x и y , одномерные комплексные числа можно изобразить на графике с двумя осями, соответствующими вещественной и мнимой частям.

Комплексные числа полезны по нескольким причинам — прежде всего потому, что они дают возможность извлекать квадратные корни из отрицательных чисел. При помощи комплексных чисел можно решить квадратное уравнение вида ax2 + bx + c = 0 при помощи формулы, которую многие из вас учили в средней школе x = (-b ± ?(b2-4ac))/2a вне зависимости от того, какое значение имеют величины a , b и c . После того как комплексные числа введены, уже не нужно ломать руки в отчаянии, если дискриминант b2-4ac вдруг окажется отрицательным; несмотря на это, уравнение все равно будет иметь решение.

— 78 —
Страница: 1 ... 7374757677787980818283 ... 302