Теория струн и скрытые измерения Вселенной

Рис. 4.3. На первом рисунке изображен параллельный перенос вектора V из точки P в точку Q , в которой этот вектор приобретает новое имя W1 . Затем при помощи так называемой J-операции вектор W1 поворачивается на 90 градусов. Повернутый вектор носит название JW1 . На втором рисунке J-операция проводится над вектором V в точке P , результатом которой становится новый вектор (повернутый на 90 градусов) — JV . При помощи параллельного переноса этот вектор перемещают в точку Q , где он получает новое имя W2 . В обоих случаях результирующие векторы будут одинаковы. Это один из признаков кэлерова многообразия, а именно независимость результата от последовательности, в которой выполняются операции поворота и параллельного переноса. Эти две операции коммутируют , то есть порядок их выполнения не имеет значения

Существует еще один способ показать, что эта простая операция (поворот на 90 градусов, или J-преобразование) тесно связана с симметрией. Этот тип симметрии называется четырехкратной симметрией, поскольку при каждом J-преобразовании вектор поворачивается на 90 градусов. В результате четырех последовательных преобразований вектор повернется на 360 градусов и, пройдя полный круг, вернется в начальную точку. Иначе говоря, два J-преобразования аналогичны умножению на -1. Четыре преобразования приведут к умножению вектора на единицу (-1?-1=1). В результате мы вернемся к тому, с чего начали.

Очевидно, что данная симметрия применима только к касательному пространству в определенной точке, но для того чтобы это свойство было действительно полезным, четырехкратная симметрия должна сохраняться и при перемещении по всему пространству. Эта согласованность является важной особенностью внутренней симметрии. Представьте себе стрелку компаса, которая характеризуется двухкратной симметрией в том смысле, что она может указывать только в двух направлениях — северном и южном. Если при вращении компаса в пространстве его стрелка будет беспорядочным образом указывать то на север, то на юг без какой-либо причины, можно сделать вывод о том, что пространство, в котором вы находитесь, либо не обладает соответствующей симметрией, либо не имеет заметного магнитного поля (либо вам пора покупать новый компас). Аналогично, если J-операция дает разные результаты в зависимости от положения точки на многообразии и направления поворота, то это означает, что в многообразии отсутствуют порядок и предсказуемость, обеспечиваемые симметрией. Более того, вы можете быть уверены, что это многообразие не кэлерово.