|
Римановы поверхности, подобно обычным двухмерным многообразиям, являются гладкими, но из их комплексной природы — они являются одномерными комплексными многообразиями — следует наличие у них дополнительной встроенной структуры. Одна особенность, автоматически следующая из комплексной природы поверхности, но не всегда присущая действительным поверхностям, состоит в том, что все окрестности поверхности связаны друг с другом определенным образом. Спроецировав небольшой фрагмент искривленной римановой поверхности на плоскость и затем проделав ту же операцию для всех окружающих его фрагментов, можно получить карту, похожую на ту, которая получается при изображении трехмерного глобуса в двухмерном географическом атласе мира. Если сделать подобную карту на основе римановой поверхности, то расстояния между различными объектами на этой карте будут искажены, однако углы между ними сохранятся. Та же идея — сохранение углов за счет искажения расстояний — использовалась и на появившихся в XVI столетии картах, основанных на проекции Меркатора, которые представляли земную поверхность не в виде сферы, а в виде цилиндра. Сохранение углов при так называемом конформном отображении земного шара на карте в те времена было необходимо для целей навигации и помогало капитанам кораблей держать выбранный курс. Использование конформного отображения существенно упрощает расчеты, относящиеся к римановым поверхностям, делая возможным для таких поверхностей доказательство многих утверждений, недоказуемых для поверхностей, не являющихся комплексными. Наконец, римановы поверхности, в отличие от обычных многообразий, должны быть ориентируемыми, а это означает, что способ определения направлений — ориентация системы координат — не зависит от местоположения точки на поверхности. Противоположная ситуация имеет место для ленты Мёбиуса — классического примера неориентируемой поверхности, в процессе перемещения по которой направления могут меняться местами — низ становится верхом, левое — правым, направление по часовой стрелке переходит в направление против часовой стрелки. Переход от одного участка римановой поверхности к другому приводит к изменению системы координат, и только небольшая окрестность каждой из заданных точек имеет вид евклидового пространства. Эти небольшие участки нужно сшить вместе так, чтобы переход от одного из них к другому не приводил к изменению углов. Именно это и имеют в виду, когда называют подобные переходы, или «преобразования», конформными . Конечно, комплексные многообразия возникают и в измерениях с более высокой размерностью — римановы поверхности представляют собой только их одномерный вариант. Но вне зависимости от размерности, чтобы получить комплексное многообразие, необходимо должным образом соединить различные его участки или фрагменты. При этом для многообразий более высокой размерности в процессе перехода от одного участка к другому и от одной системы координат к другой углы не сохраняются. Строго говоря, такие преобразования уже не являются конформными, но представляют собой скорее обобщение одномерного случая. — 80 —
|