|
Можно легко убедиться в том, что эти вектора действительно перпендикулярны, нарисовав точки (a, b) и (-b, a) на координатной плоскости и измерив углы между отрезками, выходящими из начала координат и заканчивающимися в данных точках. Операция, о которой идет речь, — преобразование координаты x в координату (-y) , а координаты y в координату x — носит название J-преобразования , которое на вещественной плоскости является аналогом умножения на i на комплексной. Дважды проведенное J-преобразование (или J2) аналогично умножению вектора на -1. Дальнейшее объяснение будет идти именно в терминах поворотов (J-преобразований), а не в терминах умножения на мнимую единицу, поскольку процесс преобразования проще представить — не важно, в голове или на бумаге — на вещественной, а не на комплексной координатной плоскости. При этом нужно не забывать, что J-преобразование является только удобной иллюстрацией комплексного умножения на i путем перехода к двухмерным вещественным координатам. Все эрмитовы многообразия имеют этот тип симметрии: J-преобразования поворачивают все вектора на 90 градусов, сохраняя их длины неизменными. Кэлеровы многообразия, представляющие собой подмножество эрмитовых многообразий, обладают такой же симметрией. Кроме того, кэлеровы многообразия обладают так называемой внутренней симметрией — специфическим типом симметрии, который должен сохраняться при перемещении между любыми двумя точками пространства с кэлеровой метрикой. Многие из видов симметрий, с которыми мы постоянно сталкиваемся в природе, относятся к группе вращений. Сфера, к примеру, имеет глобальную симметрию — названную так, поскольку она работает относительно любой точки сферы. Одним из типов симметрии в данном случае является вращательная инвариантность, означающая, что при любом повороте сфера совпадает сама с собой. Симметрия кэлерова многообразия, с другой стороны, более локальна, поскольку она относится только к первым производным метрики. Однако благодаря методам дифференциальной геометрии, позволяющим осуществить интегрирование по всему многообразию, можно увидеть, что условие кэлеровости и связанная с ним симметрия подразумевают особое отношение между различными точками. Таким образом, симметрия, изначально охарактеризованная как локальная, при помощи интегрального исчисления приобретает более глобальную роль связующего звена между различными точками многообразия. Основная проблема данного типа симметрии относится к особой разновидности преобразования, называемой параллельным переносом . Параллельный перенос, как и операция поворота, является линейным преобразованием: это преобразование подразумевает такое перемещение векторов вдоль определенной траектории на поверхности или многообразии, при котором сохраняются не только длины всех векторов, но и углы между любой парой векторов. В тех случаях, когда параллельный перенос сложно представить наглядно, точный путь перемещения векторов можно рассчитать при помощи метрики, решая дифференциальные уравнения. — 86 —
|