Теория струн и скрытые измерения Вселенной

Рис. 5.1. Математик Ш. Ю. Ченг (фотография Джорджа М. Бергмана)

Метод непрерывности был назван так потому, что он подразумевает непрерывное преобразование решения некоего известного уравнения вплоть до его полного совпадения с решением искомого. Процедуру преобразования, как правило, разбивают на две части, одна из которых работает только в непосредственной близости от известного решения.

Рис. 5.2. Наглядная иллюстрация метода Ньютона. Для того чтобы найти точку пересечения определенной кривой или функции с осью X , сначала нужно наугад подобрать некую точку x0 наиболее подходящую для этого. Затем необходимо провести касательную к кривой в точке x0 и отметить точку, в которой эта касательная пересечет ось X (это будет точка x1 ). В том случае, если наше изначальное предположение не было полностью ошибочным, продолжая этот процесс, мы будем получать точки все ближе и ближе к искомой

Одна из этих частей носит название метода Ньютона, так как она в определенной степени основана на методе, разработанном Исааком Ньютоном более трехсот лет назад. Для того чтобы продемонстрировать этот метод в действии, рассмотрим функцию y=x3-3x+1 , которая описывает кривую, пересекающую ось X в трех различных точках, являющихся корнями этого полинома. Подход, предложенный Ньютоном, позволяет определить положение корней на оси X , что далеко не всегда можно сделать, просто взглянув на уравнение. Предположим, что напрямую решить уравнение нельзя, однако один из корней соответствующей функции можно найти вблизи точки x1. Касательная, проведенная к кривой в этой точке, пересечет ось X в другой точке — x2 , находящейся ближе к искомому корню, чем точка x1 . Если мы проведем касательную в точке x2 , она пересечет ось X в точке x3 , которая будет еще ближе к искомому корню. Таким образом, многократное повторение данной процедуры должно довольно быстро привести нас к искомому корню, если только начальная точка x1 была выбрана более-менее удачно.

В качестве еще одного примера рассмотрим набор уравнений Et только одно из которых, Е0 (для которого t = 0 ), мы способны решить. При этом в действительности нам нужно решить уравнение E1 (для которого t = 1 ). Мы могли бы использовать метод Ньютона, если мы находимся в непосредственной близости к точке t = 0 , решение уравнения в которой хорошо известно, но этот подход не может привести нас к 1 . В этом случае необходимо прибегнуть к другому методу оценки, обладающему большей применимостью.