|
Можно провести следующую аналогию с теорией чисел. Хотя существует множество чисел, записать которые на бумаге не составляет ни малейшего труда, существует гораздо более обширный класс чисел, которые мы никогда не сможем записать в явном виде. Эти числа, называемые трансцендентными , включают в свое множество, например, e (2,718…) и ? (3,1415…), запись которых даже с триллионом знаков после запятой все равно не будет полной. С технической точки зрения это происходит потому, что такие числа нельзя получить путем алгебраических преобразований и они не являются корнями полинома с рациональными коэффициентами. Ввести их можно только при помощи определенных правил, это означает, что мы можем дать сколь угодно точное и обширное их описание, но никогда — дословное. Похожая ситуация возникает и с нелинейными уравнениями типа тех, что относятся к гипотезе Калаби. Решением нелинейного уравнения является функция. При этом едва ли стоит ожидать, что найденное решение будет иметь простой и явный вид, например, что его можно будет выразить при помощи точной формулы, поскольку в большинстве случаев таких формул просто не существует. Единственное, что остается, — это пытаться аппроксимировать решение хорошо известными нам функциями: полиномиальными, тригонометрическими (такими, как синус, косинус и тангенс) и некоторыми другими. Если же попытка аппроксимации решения уравнения известными нам функциями оказалась неудачной, у нас начинаются проблемы. Держа в голове все вышесказанное, я попытался в свободное от работы время найти контрпримеры к гипотезе Калаби. Были волнующие мгновения: мне казалось, что я наконец нашел направление атаки, позволяющее опровергнуть эту гипотезу, — однако позже я обнаруживал изъяны в моей, вроде бы безупречной, конструкции. Это происходило неоднократно. В 1973 году на меня снизошло озарение. На этот раз я чувствовал, что действительно напал на верный путь. Подход, который я избрал — доказательство от противного, — был аналогичен тому подходу, который мы с Ричардом Шоном использовали для доказательства гипотезы о положительности массы. И на этот раз я мог поручиться за безупречность своего доказательства. Так совпало, что эта идея пришла мне в голову во время международной конференции по геометрии, которая проходила в Стэнфорде в 1973 году, на которой Герох затронул вопрос о гипотезе положительности массы. Принято считать, что конференции — это отличный способ оставаться в курсе событий, как в своей, так и в смежных и даже очень далеких областях исследований, и эта конференция не была исключением. Она стала для меня прекрасным местом для обмена идеями с коллегами, которых я не имел возможности видеть ежедневно. Впрочем, не так уж часто бывают конференции, на которых ты решаешься изменить направление своей деятельности. Причем дважды. — 98 —
|