|
Далее, рассмотрим машину, которая подчиняется правилам 1, 2 и 4. Мы знаем, что число 33233 порождает свой собственный ассоциат точно так же, как и число 352352. Что касается числа X, порождающего повторение самого себя, то у нас уже имеются два решения — это числа 35235 и 552552. Что же касается числа X, порождающего ассоциат повторения самого себя, то одним решением служит число 3532353; другим — число 35523552. Наконец, для числа, которое порождает повторение своего собственного ассоциата, также существуют два решения — это число 5332533 или число 53525352. Наконец, рассмотрим некоторую произвольную машину, которая подчиняется по меньшей мере двум из правил Мак-Каллоха, а именно: правилам 1 и 4. Для заданного операционного числа М числом А", порождающим М(Х), оказывается число М52М52. (Сравните его с прежним решением — числом М32МЗ, полученным для машины, в которой вместо правила 4 используется правило 2.) Если теперь задано операционное число М и некое число А, то числом X, порождающим Стр. 155 M(AX), будет число М52АМ52. (Сравните его с прежним решением—М32АМЗ.) Построенные решения показывают нам, что оба принципа Крейга могут быть получены на основании правил 1 и 4. Впрочем, я сформулировал гораздо более общее утверждение, а именно: для того чтобы получить принципы Крейга, достаточно одного только закона Мак-Каллоха (теорема 2). Это утверждение можно доказать тем же способом, который использовался нами в гл. 10. В самом деле, для любого заданного операционного числа М существует некое число Y, которое порождает MY; отсюда ясно, что число М У порождает М(М У). Поэтому число X порождает М(Х), где Х = МУ. Точно так же для любого числа А, если имеется некоторое число У, порождающее AMY, число МУ порождает М(АМУ) и, следовательно, число X порождает М(АХ) при Х=МУ. Что же касается теоремы 3, то ее можно доказать так же, как это делалось в предыдущей главе. [Например, если даны операционные числа М и N и если выполняется второй принцип Крейга, то существует некое число X, которое порождает M(N2X). Если теперь мы обозначим число N2X через У, то получим, что число X порождает М(У), а число У порождаетN(X)] 13 Ключ Дело, по которому Крейг поехал в Норвегию, заняло у него гораздо меньше времени, чем он предполагал, и ровно через три недели инспектор возвратился домой. Дома его ждала записка от Мак-Каллоха: Дорогой Крейг! Если ты случайно вернешься из Норвегии до 12 мая (это пятница), то приходи ко мне в этот день обедать. Фергюссона я уже пригласил. С приветом Норман Мак-Каллох — 95 —
|