|
Определенные утверждения в данной системе принимаются как аксиомы; кроме того, вводятся также некие специальные правила, по которым можно на основании этих аксиом доказывать различные другие утверждения. Таким образом, в данной системе имеется иполне определенное свойство утверждения, называемое его доказуемостью. Далее предполагается, что система правильна в том смысле, что каждое доказуемое в этой системе утверждение является истинным; отсюда, в частности, следует, что если утверждение xЄAу доказуемо в данной системе, то число х действительно является элементом множества Ау. Пусть Р—это набор гёделевых номеров всех доказуемых в данной системе утверждений. Пусть опять же для любого множества чисел А его дополнение обозначается символом А (это множество всех чисел, не принадлежащих А). Наконец, через А* мы будем обозначать множество всех чисел х, для которых число x*х принадлежит А. При этом нас будут интересовать системы, для которых выполняются следующие три условия Gi, G2 и G3: Условие g1. Множество Р допускает наименование в данной системе. Иначе говоря, существует по крайней мере одно число р, для которого Ар представляет собой множество гёделевых номеров доказуемых утверждений. (Для системы Фергюссона таким р было число 8.) Условие g2. Дополнение любого множества, допускающего наименование в данной системе, также именуемо в этой системе. Иначе говоря, для любого Стр. 177 числа х найдется такое число х , для которого множество А* является дополнением множества Ах. (Для| системы Фергюссона таким х' было число 3-х.) Условие Gз. Для любого именуемого множества А множество А* также именуемо в данной системе. Иначе говоря, для любого числа x всегда найдется такое число х*, что множество А,- представляет собой, множество всех чисел л, для которых л*л принадлежит' А,. (Для системы Фергюссона таким х* было число 3x+1.) Очевидно, что условия F1, F2 и Fз, характеризующие машину Фергюссона, представляют собой не более чем частные случаи условий G1, G2 и G3. Последние имеют большое значение потому, что они действительно выполняются для самых разнообразных математических систем, в том числе и для тех двух систем, которые рассмотрены в работе Гёделя. Другими словами, оказывается возможным расположить все допускающие наименование множества в виде бесконечной последовательности A1, A2, ... , An ... и ввести для всех утверждений некоторую частную нумерацию Гёделя, причем так, что будут выполняться условия G 1, G2 и G3. В результате все то, что является доказуемым для систем, удовлетворяющих условиям G1, G2 и G3, будет применимо ко многим другим важным системам. Теперь мы можем сформулировать и доказать теорему Гёделя в общей форме. — 109 —
|