|
Теорема G. Для любой правильной системы, удовлетворяющей условиям G1, G2 и G3, должно существовать утверждение, которое является истинным, но недоказуемым в данной системе. Доказательство теоремы G представляет собой простое обобщение доказательства, которое уже известно читателю для системы Фергюссона. Обозначим через К множество таких чисел х, для которых элемент х*х не принадлежит множеству Р. Поскольку множество Р (согласно условию gi) именуемо в данной системе, то же можно сказать и о его дополнении Р (согласно условию G:), а следовательно, и о множестве Р* (согласно условию Gз). Но множество Р* совпадает с множеством К (поскольку Р* — это множество таких чисел х, для которых х* х принадлежит Р, или, другими Стр. 178 словами, множество таких чисел х, для которых элемент х*х не принадлежит Р). Таким образом, множество К допускает наименование в данной системе, откуда следует, что К = А* по крайней мере для одного числа k. (Для системы Фергюссона одним из таких чначений k было число 73, другим — число 75.) Таким образом, для любого числа х истинность утверждения xЄAk равносильна утверждению, что число х*х не принадлежит Р, а это в свою очередь означает, что утверждение xЄAx недоказуемо (в данной системе). В частности, если мы возьмем в качестве х число k то истинность утверждения kЄA* будет равносильна его недоказуемости в данной системе, что означает либо истинность, но недоказуемость этого утверждения, либо его ложность, но доказуемость в той же системе. Но последняя возможность исключена, поскольку мы предположили, что наша система является правильной; следовательно, указанное утверждение истинно, но недоказуемо в данной системе. Обсуждение. В своей предыдущей книжке «Как же называется эта книга?» я рассматривал аналогичную ситуацию—остров, все жители которого делятся на рыцарей, которые всегда говорят только правду, и плутов, которые всегда лгут. При этом некоторых рыцарей мы называли признанными рыцарями, а некоторых плутов — отъявленными плутами. (Все рыцари высказывают истинные суждения, а признанные рыцари высказывают утверждения, которые не только истинны, но и доказуемы.) Далее, ни один из жителей острова не может сказать: «Я не рыцарь» — ведь рыцари никогда не лгут и, стало быть, рыцарь не станет говорить, будто он не рыцарь; плут же никогда не скажет о себе правдиво, что он не рыцарь. Именно поэтому ни один из обитателей острова никак не может заявить, что он не рыцарь. Вместе с тем некий островитянин вполне может сказать: «Я непризнанный рыцарь». Противоречия в таком заявлении нет, однако вот что интересно: сказавший это наверняка должен быть рыцарем, но непризнанным рыцарем. Дело в том, что плут никак не может сделать правдивого заявления, что он непризнанный рыцарь (поскольку он и в самом деле им не является); стало быть, говорящий должен — 110 —
|