|
— Это очень важный вопрос,— ответил Фергюссон,— но, увы, ответа на него я не знаю. В этом-то как раз и состоит главная проблема, которую я никак не могу разрешить! Уже не один месяц я пытаюсь найти ответ на этот вопрос, но пока безуспешно. Так, я совершенно точно знаю, что моя машина может доказать любое утверждение вида х ЄА у, которое является логическим следствием заложенных в нее аксиом, однако я не знаю, достаточное ли количество аксиом введено мною в машину. Аксиомы, о которых идет речь, представляют собой нечто вроде общей суммы сведений, известных математикам относительно систе- Стр. 169 мы положительных целых чисел; и все же, может быть, их недостаточно, чтобы строго установить, какие же числа х и к каким поддающимся описанию множествам А у принадлежат. До сих пор любое утверждение вида хЄАу, которое я считал истинным, исходя из чисто математических соображений, оказывалось логическим следствием заложенных в машину аксиом; при этом машина способна доказать любое взятое мною утверждение такого вида. Однако то, что я не сумел найти истинного утверждения, которое машина не могла бы доказать, вовсе не означает, что такого утверждения не существует—может быть, я его просто еще не обнаружил. В то же время вполне может оказаться, что машина действительно способна доказать все истинные утверждения — но этого я тоже еще не сумел доказать. Пока я просто не знаю, как это сделать! Короче говоря, после этого Фергюссон подробно объяснил Крейгу и Мак-Каллоху, какие аксиомы заложены в машину и какие чисто логические правила позволяют доказывать новые утверждения на основании уже имеющихся. Все эти подробности вполне убедили Крейга и Мак-Каллоха в том, что машина на самом деле точна — что она действительно доказывает лишь истинные утверждения. Однако вопрос о том, может ли машина доказать все истинные утверждения или только некоторые из них, так и остался нерешенным. На протяжении нескольких последующих месяцев они часто собирались вместе для детального обсуждения возникших вопросов — пока, наконец, задача не была полностью решена. Я не стану утомлять читателя и приводить все подробности полученного ими решения; упомяну лишь о том, что действительно представляется для нас важным. Переломный момент в их исследованиях наступил тогда, когда друзья в конце концов сумели сформулировать три ключевые особенности машины; этого оказалось достаточно для полного решения задачи. Кажется, первыми обратили внимание на эти особенности Крейг и Мак-Каллох, однако их окончательная формулировка принадлежит Фергюссону. Но — 104 —
|