Математика, философия и йога

Страница: 1 ... 3940414243444546474849 ... 72

Число пи можно получить множеством других спосо­бов. Оно определяет суммы некоторых бесконечных рядов, а также непрерывных последовательностей умножений или делений. Один из таких рядов указал Лейбниц:

?/4= 1-1/3+ 1/5-1/7 + ...+ 1/(2n-1) + ...

В нем плюсы и минусы перемежаются, а знаменатели дробей представляют собой последовательность нечетных целых чисел. Если вы хотите определить значение числа пи, достаточно складывать члены этого ряда до тех пор, пока не надоест. Следует заметить, что вам придется провести очень много сложений, прежде чем удастся получить точное зна­чение двенадцатого знака после запятой. Этот ряд — не самый удачный метод вычислений, поскольку он, как гово­рят математики, сходится очень медленно. Есть другие, быстросходящиеся ряды, но и они тоже остаются просто беско­нечными суммами и не имеют никакого сходства с законо­мерностью, связывающей длину окружности и ее диаметр.

Вы можете подумать, что в настоящее время мы не знаем — и не найдем в обозримом будущем —других тран­сцендентных чисел, кроме этих двух, что эти числа очень редкие. Однако математики уже разработали несколько бесконечных классов трансцендентных чисел, и существу­ют доказательства того, что их число во многом превосхо­дит количество всех остальных чисел вместе взятых. Дело в том, что в отличие от прочих чисел, которые (теоретичес­ки) за достаточно долгое время можно пересчитать, счесть все трансцендентные числа просто невозможно. Трансцендентные величины образуют множество } i — уровень бес­конечности [14], превосходящий по мощности все осталь­ные числа, которые входят в множество }о.

Некоторые математики утверждают, что рассмотрен­ная числовая плоскость (рис. 19) является в действитель­ности не сплошной, а пористой, и такие «дырочки» соот­ветствуют трансцендентным числам. Множество алгебраи­ческих чисел, всех тех, что я вам показал, является счетным. Это означает, что целых чисел вполне достаточно (внима­ние, перед вами настоящая тайна!) для того, чтобы сосчи­тать не только все целые числа, но также все дроби, ирраци­ональные, мнимые и комплексные числа. Вот куда заводит математическая логика. Это свойство бесконечного много­образия: вы можете исключить из него бесконечное число бесконечных многообразий и при этом исходное многооб­разие ничуть не уменьшится [15].

Лекция 5

В начале мне хочется коротко обсудить характер взаимо­отношений между говорящим и слушателями на по­добных встречах. Они отличаются от того, что происходит на академических лекциях. Они похожи скорее на отноше­ния дирижера и оркестра: способности слушателей ограни­чивают или расширяют власть говорящего. Нам очень по­везло. У меня никогда прежде не было слушателей, среди которых так много музыкантов (это образное сравнение). Некоторые из вас — настоящие виртуозы, как явные, так и скрытые. Это наша совместная работа. Я хочу, чтобы сегод­ня, чуть позже, мы вышли в открытое море. До сих пор мы оставались у берега, едва замочили ноги, но сегодня я пред­лагаю нырнуть в глубину.

— 44 —
Страница: 1 ... 3940414243444546474849 ... 72