Математика, философия и йога

Сейчас я попытаюсь подвести всему этому итог. Мно­гие из вас еще не понимают, к чему я веду, но в действитель­ности мы говорим о силах и слабостях, ограничениях чис­того мышления, — а такое чистое мышление проявляется именно в математике. Поэтому я надеюсь, что вы не по­жалеете о потраченном на понимание этих примеров вре­мени — даже те из вас, у кого нет особых познаний в мате­матике. Кроме того, подобные рассуждения отчасти подго­товят нас к некоторым возможным трудностям.

Другой школой математики является формализм, свя­занный, в частности, с Гильбертом [22]. В отличие от шко­лы Рассела, формализм уделяет особое внимание не логике, а необычным формам геометрии. Когда Евклид [23] писал свои труды по геометрии, он воспользовался рядом пред­положений, которые назвал «аксиомами», то есть «само­очевидными истинами», чем-то таким, в правильности че­го никто не сомневается. В действительности, Евклид пред­ставил их в форме постулатов, а не обычных определений (аксиом) [24]. Он начал с этих положений и вывел из них все остальное. Пятая аксиома, известная как аксиома о па­раллельности [25], выглядит очень сложной. В ней утверж­дается: если сумма двух внутренних углов по одну и ту же сторону от некой прямой, пересекающей две заданные пря­мые, равна сумме двух прямых углов, то исходные прямые не пересекаются (см. рис. 10). Это утверждение кажется похожим на теорему, то есть на нечто требующее доказа­тельства, но на самом деле это аксиома. В современных учебниках вы, вероятнее всего, встретите ее в такой форму­лировке (см. рис. 11): через точку С, не лежащую на прямой АВ, можно провести одну и только одну прямую, парал­лельную прямой АВ. Так ее описывают в наши дни, а пер­вый вариант представляет собой формулировку Евклида. Поскольку она выглядит похожей на теорему, многие мате­матики пытались доказать ее, опираясь на остальные акси­омы, но потерпели полную неудачу.

ПЯТАЯ АКСИОМА ЕВКЛИДА

Рис.10

Рис. 11

Следующим шагом стала попытка выдвинуть иные предположения. Лобачевский и Больяй [26] независимо друг от друга допустили, что через точку С, не лежащую на заданной прямой АВ, можно провести по меньшей мере две прямые, параллельные АВ. Это означает, что и прямая CD, и прямая СЕ могут не пересечь прямую АВ —нигде, кроме, быть может, бесконечности. Просто предположим, что это правильно. Быть может, мы так не думаем, но дело не в этом. Можно ли, пользуясь этой аксиомой, построить внутренне непротиворечивую геометрию? Да. И это было сделано. В геометрии Лобачевского многие, практически все, положения Евклида, опирающиеся на аксиому о парал­лельности, выглядят совершенно иначе. Например, все вы знакомы с утверждением о том, что сумма углов треуголь­ника равна двум прямым углам, но в геометрии Лобачевс­кого эта сумма всегда превышает сто восемьдесят градусов.