Математика, философия и йога

Это крошечный проблеск чего-то Запредельного. Заг­лядывая в эти глубины, относительное сознание может сна­чала счесть их тьмой, безмолвием и пустотой. Однако при смещении на их собственный уровень, при переходе к ино­му способу постижения они воспринимаются как необы­чайно яркий свет, как полнота и вершина содержательнос­ти — как внутренняя сущность звучания. По существу, это происходит и сейчас...

Помнится, я сказал, что мы перейдем к вопросу опре­делений. Давайте переключаться. Что такое математика во­обще? Название моих лекций: «Математика, философия и йога». Такое сочетание тематик имеет свои причины. Это тот путь, которым я шел, и потому я лучше всего знаком именно с ним. Если вы обратитесь к различным справочни­кам, как сделал я, то найдете в них множество разнообраз­ных определений того, что понимается под математикой. Я нашел одно из них в «Сэнчери Дикшнэри», где математика определяется как «наука о количестве» [16]. Кажется, такое представление очень широко распространено, но оно оста­ется чрезвычайно далеким от истины. В математике есть много областей, не имеющих ничего общего с количествен­ными отношениями — например, алгебра логики, творе­ние великого ирландского ученого Буля, которого Рассел назвал первым чистым математиком. Алгебра логики не связана с количеством, она рассматривает классы, множес­тва, взаимоотношения между ними и прочие подобные вопросы.

Другим примером направления, никак не связанного с вычислениями, — кстати, очень красивым направлением, — является проективная геометрия. Думаю, пример из этой области покажется вам занятным. В проективной гео­метрии вообще не рассматриваются метрические свойства, в ней не используются измерения. Понятие меры является основополагающим во всем, что касается количества, но проективная геометрия занимается описательными свойс­твами. Начертим две произвольные прямые и назовем их L и L’ (см. рис. 8).

Рис.8

Выберем на каждой прямой по три произвольных точ­ки. Обозначим точки на прямой L буквами А, В и С, а точки на прямой L' —А', В' и С’. Теперь соединим отрезком точки Аи В', а также пару А' и В. Отметим место пересечения этих отрезков. После этого построим отрезки, соединяющие па­ры точек В и С', С и В', С и А' и, наконец, С' и А. Помните, что прямые и все точки были выбраны совершенно произ­вольно, мы не прибегали к каким-либо измерениям. Кроме того, прямые вообще бесконечны. В проективной гео­метрии все прямые имеют бесконечную длину, так как опе­рации с ними не связаны с измерениями. Длины и углы не имеют никакого значения. Эта теорема (первым ее доказал Паскаль [17], и она является частным случаем более общей теоремы о конических сечениях) заключается в том, что три полученные точки пересечения построенных отрезков лежат на одной прямой. Математику такой результат ка­жется очень красивым —и не потому, что его можно уви­деть воочию, а по той причине, что он оказывается полной неожиданностью. Вся изюминка в том, что это справедливо для любых, самых произвольных прямых. Точки также вы­бираются произвольным образом — вы можете поместить их куда пожелаете. Вы просто чертите прямые L и L', прово­дите три соединяющих их отрезка — и обнаруживаете, что полученные точки пересечения находятся на одной пря­мой. Если вы ощутили это, то получили определенное пред­ставление о той красоте, которую ценят математики. Это умозрительная красота. Она заключается в том, что между элементами, которые казались независимыми, разрознен­ными, внезапно возникает некое единство. Подобные пере­живания случаются часто, но обычно осознаются только при высоком уровне сосредоточенности, способном вызы­вать экстатическое состояние.