Математика, философия и йога

Более полное и точное определение математики приво­дится в «Словаре философии и психологии» Болдуина. Там сказано, что «математика представляет собой науку об абс­трактных отношениях» [18]. В своей статье для девятой редакции «Британской энциклопедии» Уильямсон гово­рит, что «любая концепция, полностью описываемая ко­нечным набором определений, является математическим понятием» [19]. Кроме того, Рассел сказал, что чистая мате­матика представляет собой класс всех утверждений в форме «р влечет q», где р и q являются утверждениями, содержа­щими один и тот же набор переменных и не включающими в себя никаких постоянных, кроме логических констант.

Вернемся к неметрическим областям математики. По­мимо алгебры логики и проективной геометрии, существу­ет топология, которую иногда называют «геометрией на резиновой плоскости». Это чрезвычайно важное направле­ние. Топология изучает те отношения, которые остаются неизменными при любых деформациях пространства. Ска­жем, плоскость можно растянуть таким образом, чтобы квадрат превратился в круг, а эллипс — в любую другую фигуру. Что же останется неизменным? Связность отдель­ных частей. Подобные опыты приводят ко множеству за­нятных построений — например, к созданию односторон­ней поверхности —ленты Мебиуса (см. рис. 9).

ЛЕНТА МЕБИУСА

Рис.9

Если вы перекрутите бумажную ленту ровно один раз, а затем склеите ее концы, то сможете, не отрывая карандаш от бумаги, провести вдоль центральной оси этой ленты одну прямую, которая протянется по обеим сторонам и вернется к исходной точке без необходимости изменения направления движения на обратное.

Порой люди занимаются исследованиями очень стран­ных вещей, многие из которых чрезвычайно далеки от воп­росов, связанных с измерениями.

Мы приближаемся к тому вопросу, который выходит за рамки любых определений, — к вопросу об основопола­гающей сущности математики. В ней выделяют три общеп­ризнанные школы. Одна из них известна как логицизм, и самым видным ее представителем был Рассел. Логицисты считают, что математика — это только логика. Они при­держиваются представления о том, что всю ныне извест­ную математику и любые математические направления, ко­торые могут возникнуть в будущем, можно свести к чисто логическому процессу (такому процессу, который можно использовать для программирования технических уст­ройств). Сделать это пока не удалось. Логицизм сталкивает­ся со множеством трудностей, с очень серьезными парадок­сами. Например, представим себе множество всех мно­жеств, которые не являются собственными элементами. Входит ли такое множество само в себя [20]? В свое время этот вопрос, то есть задача, был направлен в адрес Пеано [21], который только что завершил двухтомный труд по математической логике. Книга уже была в типографии, но этот вопрос полностью обесценивал ее содержание. Пеано сказал: «Как трудно смириться с тем, что после долгих лет, посвященных научным исследованиям, воздвигнутая вами башня разваливается в один миг». Вы можете сами убедить­ся в том, что на такой вопрос нельзя ответить ни «да», ни «нет». Этот парадокс возник в рамках самого взгляда на природу математики. Я задумываюсь о том, не попытались ли логицисты сделать ее чрезмерно чистой — в том смысле, что практически отказались от интуиции и свели математи­ку к логическому процессу, который не пользуется интуи­цией и не испытывает в этом потребности.