|
Бунт Брауэра Гильберт воспринял как сигнал о неблагополучном положении во всем математическом хозяйстве и срочно стал искать средства ликвидировать возникшие неполадки. С начала двадцатых годов важнейшим делом Гильберта становятся исследования в области оснований математики. Эта работа тем более была ему сподручна, что еще в 1898 году он написал знаменитую книгу «Основания геометрии» (а в последующие годы опубликовал ряд работ по проблемам оснований математического знания). В этой книге подводился итог огромной работе математиков, физиков и философов в области осознания природы геометрической науки – работы, начатой еще создателями неэвклидовых геометрий. Для понимания той программы, которую Гильберт противопоставил плану Брауэра, полезно познакомиться с основным замыслом «Оснований геометрии»[105]. Работы Фреге ясно показали (хотя сам Фреге с этим не был согласен[106]): абстрактная (и тем более формальная, то есть основанная на формализованной логике) теория сама по себе не может быть «верной» или «неверной» с точки зрения содержания. Содержательные соображения получают право на существование только тогда, когда установлена интерпретация формальной системы, то есть когда система использована как схема каких‑то «реальных» явлений. Но какова «природа» элементов абстрактной, формальной системы? В частности, что такое точки и прямые абстрактной геометрии? Гильберт подробно осветил этот вопрос в своей книге. Точки, прямые и плоскости он назвал «тремя системами вещей», удовлетворяющих аксиомам геометрии. Таким образом, он объявил аксиомы скрытыми (неявными) определениями основных понятий некоторой абстрактной структуры. Точки, прямые и плоскости – это любые вещи, которые подчинены условиям, что для любых двух точек существует прямая и притом только одна, проходящая через каждую из этих точек; что через прямую и точку, на ней не лежащую, проходит одна и только одна плоскость, и т. д. Все это соответствовало естественному движению математики к аксиоматическому методу. Но оставалась нерешенная деталь: в чем все‑таки состоит гарантия того, что система аксиом геометрии удовлетворяет требованию логически непротиворечивости? Ясно, что ссылки на применения геометрии к другим областям, ни разу не приводившие к противоречиям, не являются залогом того, что противоречия и впредь не возникнет. Чтобы с полным спокойствием применять геометрию в сфере физики и других конкретных наук, следовало бы иметь более строгие доказательства того, что этот аппарат с точки зрения своей внутренней структуры абсолютно надежен. Ведь система, в которой не возможно доказать некоторое положение и его отрицание, заведомо не годится ни для какой интерпретации. Гильберт показал, что непротиворечивость геометрии такова же, как и непротиворечивость арифметики, то есть, что если арифметика непротиворечива, то непротиворечива и геометрия. Итак, все замкнулось на арифметику. — 75 —
|