Жар холодных числ и пафос бесстрастной логики

Для интуициониста это рассуждение ничего не стоит. Ясно, скажет он, что мы не сможем фактически обнаружить тот отрезок, на котором расположено бесконечное множество членов последовательности. Действительно, как это сделать? Считать число членов, попавших на каждую из половин? Это приведет к цели лишь в том случае, если на одной из половин окажется конечное число членов: тогда мы возьмем другую половину. А если мы считаем, считаем и считаем – и все время и на одной и на другой половине будут обнаруживаться новые точки – тогда как быть? Ведь как бы долго ни происходил этот пересчет, мы не вправе заключить, что точек бесконечное множество: нет гарантии, что они через некоторое время не иссякнут. Поэтому построить точку сгущения таким способом невозможно. А раз так, то из нелепости предположения об отсутствии точки сгущения не следует ее наличие.

Учтя центральное положение теоремы Больцано–Вейерштрасса в дифференциальном исчислении и распространенность в анализе доказательств с подобной же схемой рассуждений, можно представить себе, в какое затрудни» тельное положение попадает математика, если такие рассуждения будут «запрещены» – объявлены нестрогими. Естественно, что программа Брауэра вызвала среди ведущих математиков того времени самое различное отношение ‑ одни приветствовали ее (среди них был, например, Гермад Вейль, решительно выступивший в поддержку Брауэра), другие – а таких было большинство – выступили с резкими возражениями. Самым авторитетным оппонентом интуиционизма стал Давид Гильберт (1862–1943).

Гильберта считают величайшим математиком XX века. Диапазон его работ внушает изумление. Он внес огромный вклад в теорию инвариантов групп и теорию алгебраических чисел, разработал основания геометрии, решил многие проблемы вариационного исчисления, исследовал вопросы дифференциальных уравнений, развил теорию интегральных уравнений, создал аппарат функционального анализа и поставил на новую основу математическую физику. Влияние Гильберта на современную ему математику было невероятным. Геттингенский университет, профессором которого он был с 1902 по 1930 год, стал мировой «Меккой математиков». В 1900 году на Втором Международном конгрессе математиков в Париже Гильберт делал обзорный доклад о проблемах математики в целом – вещь, на которую не отваживался больше никто. В этом знаменательном для истории науки докладе он выдвинул знаменитые двадцать три «проблемы Гильберта», задавшие исследователям работу на десятилетия и в некотором смысле определившие направление поисков.