|
2. Особенность разума, дающая ему возможность создать математику, это некое ощущение времени, вернее, способность различать два последовательных момента времени как два разных момента. Эта способность порождает, в свою очередь, способность вести счет натуральным числам. Таким образом, у Брауэра натуральные числа выступают как нечто первичное, непосредственно данное глубинной человеческой интуиции. Именно из‑за этого математика школы Брауэра названа интуиционистской математикой , а логика, принятая в этой математике» – интуиционистской логикой. 3. Из второго пункта вытекает, что «классическая» логика не является чем‑то первоначальным, как ошибочно полагают логицисты. В глубинной интуиции даны лишь конечные образования – натуральные числа. На каком же основании классическую логику, которая могла возникнуть лишь как отражение опыта оперирования с конечными объектами, распространяют на бесконечные множества? К бесконечным множествам не всегда применим закон исключенного третьего (принцип: из двух высказываний, одно из которых есть отрицание другого, по крайней мере одно истинно). Этот важнейший пункт брауэровской критики классической логики и теоретико‑множественной математики требует пояснения. Воспользуемся известным примером. Рассмотрим высказывание(*) «В десятичном представлении числа я либо имеется девять нулей подряд, либо не имеется». Это высказывание подпадает под схему закона исключенного третьего (а V ~а) и с «классических» позиций должно быть признано верным. Но с точки зрения Брауэра это высказывание может иметь смысл лишь в том случае, если у нас есть способ проверить, какая из двух альтернатив – а или ~а – имеет место[97]. В данном же случае этого сделать нельзя: вычисляя значение числа ? со все большей точностью, мы можем в конце концов добраться до «пакета» из девяти нулей – и тогда подтвердится первая альтернатива (что и будет означать истинность высказывания (*));но может случиться, что процесс вычисления будет продолжаться неограниченно долго – и это вовсе не будет означать справедливости второй альтернативы. Таким образом, вопрос о верности рассматриваемого высказывания (*) остается открытым. Конечно, если бы у нас было независимое от этого процесса вычисления доказательство второй альтернативы, то истинность данного суждения тоже была бы установлена. Но наука в настоящее время им не располагает. Таким образом, закон исключенного третьего как «общезначащую» логическуй схему следует отвергнуть. Отказ от всеобщности «исключения третьего» в применении к бесконечным совокупностям влечет за собой серьезные перемены в логике. В частности, из отвержения альтернативы ~а – то есть доказательства того, что верно ~~a – заключать к верности альтернативы а по Брауэру в общем случае недопустимо[98]. Например, если предположение, что среди элементов некоторого бесконечного множества не существует объекта с определенными свойствами, ведет к нелепости (и, значит, отвергается), то отсюда, тем не менее, не следует, что объект с этими свойствами существует. — 70 —
|