|
Теперь о другой стороне программы Гильберта – о тех его идеях и надеждах, которые не оправдались и оказались иллюзорными. У Гильберта было глубокое убеждение в том, что можно «финитными» (конечными) средствами доказать непротиворечивость арифметики, после чего и вся математика – с анализом и всеми ее «идеальными элементами» – станет в логическом смысле абсолютно истинной и превратится в инструмент исследования стопроцентной надежности (что не будет, конечно, означать прекращения развития математической науки). Что же такое «финитные средства»? Это – аппарат, не апеллирующий к канторовской идее бесконечности (когда бесконечные множества мыслятся как актуальные, то есть «ставшие», как некие законченные образования, данные сразу всеми своими элементами) и не содержащий «идеальных элементов», схемы и правила рассуждений которого в силу этого вполне ясны, обозримы и понимаются всеми одинаковым образом. Приведем пример финитного доказательства непротиворечивости, который позволит конкретно представить существо подхода Гильберта. Докажем, что дедуктивно‑аксиоматическая система исчисления высказываний, описанная в главе 4 (система Фреге), непротиворечива, то есть, что в ней нельзя доказать в качестве теоремы некоторую формулу а и ее отрицание ~?[112]. Доказательство любой теоремы в данной системе можно представить как цепочку формул, каждая из которых есть либо аксиома, то есть формула, подпадающая под какую‑либо схему аксиом, либо получена из каких‑либо формул, стоящих в цепочке ранее, по модесу поненсу; последняя формула цепочки есть доказываемая теорема. В силу этого самое первое применение правила вывода должно обязательно относиться к аксиомам. В этом смысле можно сказать, что все доказательства – выводы теорем – начинаются на аксиомах, а затем с помощью правила модус поненс получаются новые формулы (причем каждая из них есть теорема). Но поскольку любая формула, подпадающая под какую‑либо схему аксиом (аксиома), как мы установили, тождественно‑истинна, а модус поненс этой истинности не «портит», то свойство «быть тождественно‑истинной формулой» становится в нашей системе «наследственным» – присущим всем теоремам. Это свойство похоже на некий генетический признак, непременно передающийся от родителей к детям. При таком положении дел можно с полной уверенностью утверждать, что среди даже самых дальних потомков прародителей не встретятся экземпляры, лишенные наследуемого признака. Рассмотрим теперь некие две формулы а и ~а. Если обе они – доказуемые формулы, то есть «потомки» аксиом, порожденные посредством модуса поненса, то они должны быть обе тождественно‑истинными. Но это невозможно: из табличного определения отрицания следует, что если одна из этих формул будет тождественно‑истинной, то другая окажется тождественно‑ложной. Но тождественно‑ложная формула не может быть выводимой из аксиом – доказуемой (так как если бы она была доказуемой, то была бы тождественно‑истинной и, значит, не тождественно‑ложной). Следовательно, одна из формул, а или ~а, недоказуема. — 79 —
|