|
Это рассуждение является совершенно «финитным», оно не использует ни идеи канторовской актуальной бесконечности, ни «идеальных элементов»[113]. Гильберт хотел осуществить такого же рода (мета)доказательство непротиворечивости для более сложной дедуктивной системы – арифметики. Для этого арифметику нужно было построить как аксиоматически‑дедуктивную систему и показать, что, пользуясь разрешенными в ней правилами переработки знакосочетаний, мы никогда не выведем в качестве теорем а и ~а. Поскольку арифметика занимается установлением соотношений не только для конкретыых натуральных чисел, но и формулирует законы, которым подчиняются все натуральные числа (например, что а + b = b + а, каковы бы ни были a и b) или какие‑то (бесконечные) их множества, и утверждения о существовании чисел с определенными свойствами, то соответствующая формальная система должна быть основана на логике предикатов, в которой имеются правила обращения с кванторами общности V («все») и существования Э («существует»). Интересно, что у Гильберта в течение нескольких лет, по‑видимому, имелось чувство уверенности, что данная проблема вот‑вот будет решена, что осталось совсем немного усилий, и непротиворечивость, арифметики будет строго установлена начертанным им в 1927 году на Математическом семинаре в Гамбурге путем[114]. Но шли годы, а дело не сдвигалось с места. А в 1931 году молодей австрийский математик Курт Гёдель опубликовал найденное им доказательство (мета)теоремы, которая многими рассматривается как поворотный пункт в науке об основаниях математики и в математической логике. Методами, признанным» подавляющим большинством математиков совершенно строгими, Гёдель доказал, что в формализованной арифметической системе есть такие формулы, которые по своему содержанию должны быть либо истинными, либо ложными, но которые не могут быть в этой системе ни доказаны, ни опровергнуты. Но это еще не все. Опираясь на этот результат, названный Теоремой о неполноте, Гёдель доказал, что если арифметика непротиворечива, то ее непротиворечивость нельзя; доказать формальными средствами. Означало ли это крах программы Гильберта? В той своей части, которая касается доказательства непротиворечивости арифметики «финитными» средствами, замысел Гильберта, конечно рухнул. Однако остается открытым следующий путь: так расширять понятие «дозволенных методов доказательства, чтобы теорема Гёделя уже не относились к этим методам. Как писал выдающийся советский математик П. С Новиков(1901–1975), нет «никаких оснований предполагать, что границы, которые кладет финитизм Гильберта, действительно необходимы для того, чтобы исключить вызывающие сомнения элементы математического мышления. Возможен дальнейший анализ предмета математики и выделения в нем надежных непротиворечивых средств, выходящих за рамки фанитизма и все же достаточно сильных для того, чтобы решать интересующие, нас вопросы. Но выход за рамки финитизма не уничтожает основной идеи метода, предложенного Гильбертом и состоящего в формализации тех математических систем, которые подлежат обоснованию, средствами некоторого круга понятий, в силу тех или других соображений принятого в качестве основы»[115]. — 80 —
|