|
Отечественное конструктивное направление, продолжающее критическую линию интуиционизма в отношении классической математики, отвергает философскую концепцию Брауэра. На место «интуиции» конструктивисты выдвигают понятие умственного построения, проясняемое с помощью понятия алгоритма (см. гл. 7). При этом, как указывает создатель отечественной школы конструктивной математики А. А. Марков, «умственные построения, такие, например, как построения все больших и больших натуральных чисел, обычно являются слепками с построений материальных, осуществляемых в окружающей нас действительности»[102]. Перейдем, однако, к чисто математическому аспекту брауэровской платформы. Ядром здесь является установка на конструктивность[103] и отрицание универсальности закона исключенного третьего – два положения, которые в интуиционистском истолковании являются родственными. Пример поможет понять сущность дела. Возьмем теорему Больцано – Вейерштрасса о наличии у ограниченной числовой последовательности точки сгущения. Под точкой сгущения последовательности понимается точка числовой оси, к которой как угодно близко подходят точки, представляющие числа данной последовательности. Скажем, для последовательности 1/2, 1/3, 1/4, 1/5,...точкой сгущения является нулевая точка, так как какое бы сколь угодно малое положительное число е мы ни взяли, для него обязательно отыщется член нашей последовательности, отличающийся по своей абсолютной величине от нуля меньше, чем на е. Теорема Больцано – Вейерштрасса доказывается с помощью дихотомии. Ограниченная последовательность (по определению) может быть целиком заключена в пределы некоторого отрезка числовой оси. Разделим этот отрезок пополам. По меньшей мере на одной из его половин (а может и на обеих) имеется бесконечное множество точек последовательности, иначе, если бы на обеих половинах было конечное число точек, то их вообще было бы конечное число, что противоречит предположению о бесконечности последовательности. Возьмем как раз ту половину, где имеется бесконечное множество точек последовательности, разделим ее снова пополам и повторим рассуждение. В конце концов (при бесконечном продолжении процесса) мы придем к единственной точке, принадлежащей всем нашим уменьшающимся вдвое отрезкам, – это и будет точка сгущения. В самом деле: если предположить, что эта точка не есть точка сгущения, то вокруг нее существует некоторая зона, где нет точек нашей последовательности; но уменьшающиеся отрезки, каждый из которых содержит не одну, а бесконечное множество точек последовательности, стягиваются вокруг этой точки и рано или поздно войдут в любую зону, как бы мала она ни была. Противоречие и доказывает теорему[104]. — 73 —
|