Против Богов. Укрощение риска

Тогда я заставил компьютер выполнить 256 испытаний по шесть бросков каждое. Первые 256 испытаний дали близкую к ожидаемому значению величину 3,49 со средним квадратичным отклонением 0,69, то есть две трети результатов оказались в ин­тервале между 4,18 и 2,80. Только в 10% испытаний средние зна­чения были меньше 2,5 или больше 4,5, в то время как больше по­ловины значений попало в интервал от 3,0 до 4,0.

Продолжая насиловать компьютер, я повторил серию из 256 испытаний десять раз. Усреднив результаты, полученные в каждой из десяти выборок, я затем усреднил эти средние и получил 3,499 (я привожу результат с точностью до трех знаков после запятой, чтобы показать степень приближения к 3,5). Впечатляющим ока­залось уменьшение величины среднего квадратичного отклонения до 0,044. При этом пять средних оказались ниже 3,5 и пять выше, а семь из десяти выборок по 256 испытаний дали значение в пре­делах от 3,455 до 3,543. Это неплохая точность.

Как выяснил Якоб Бернулли, количества важны. Это он обратил внимание на то, что среднее от средних значений отдельных выбо­рок удивительным образом снижает дисперсию вокруг основного среднего значения, — утверждение, известное как центральная пре­дельная теорема. Эта теорема была впервые сформулирована Лапла­сом в 1809 году в работе, которую он закончил и опубликовал перед тем, как в 1810 году ознакомился с «Theoria Motus» Гаусса.

Среднее от средних интересно еще и с другой стороны. Мы на­чали эксперименты с бросанием шестигранной кости, каждая грань которой имеет равные шансы выпасть. Распределение получалось плоским, не имеющим ничего общего с нормальным. По мере того как компьютер моделировал все большее и большее число бросков, накапливая число выборок, мы получали всё больше и больше ин­формации о свойствах кости.

Очень редко среднее значение в испытании из шести бросков оказывалось близким к шести или к единице; большая часть их оказывалась между двумя и тремя или четырьмя и пятью. Струк­тура результатов в точности повторила расчеты Кар дано, выпол­ненные им для игры 250 лет назад, когда он начал нащупывать подходы к вероятностным законам. Множество бросков одной кос­ти дают среднее значение 3,5. Отсюда ясно, что многократное бро­сание двух костей даст в среднем удвоенную величину, то есть 7,0. Как показал Кардано, значения, отличающиеся от 7 в ту или дру­гую сторону, будут встречаться с одинаково убывающей частотой по мере продвижения от 7 к 2 или к 12.