Десять великих идей науки. Как устроен наш мир

Кант предположил, что синтетические суждения a priori , которые выражают новое знание, но являются не связанными с опытом, представляют собой подходящие объекты для философского исследования. Такие суждения включают в себя утверждения о пространстве и времени, которые, с его точки зрения, неоспоримы, и восприятие которых каким-то образом встроено в наши мозги. Для Канта принципы геометрии Евклида и свойства натуральных чисел были синтетическими суждениями a priori . С точки зрения Канта, теоремы математики представляют собой «евклидизацию» свойств пространства и времени, которая некоторым образом выявляет работу нашей нервной системы (это, разумеется, не тот термин, который он использовал) и наши способы восприятия.

Идею о том, что в натуральных числах присутствует нечто врожденное, являющееся непосредственно очевидным синтетическим априорным свойством мира, датский математик Луитцен Эгбертус Ян Брауэр (1881-1966), один из создателей топологии, в своей докторской диссертации, защищенной в 1907 г. в Амстердамском университете, развил в философию математики, известную как интуиционизм . Брауэр отмел кантовский взгляд на геометрию как на синтетическую априорную конструкцию, который, на самом деле, уже был превращен в пыль тем, что пятый постулат Евклида, хотя он и согласуется с другими постулатами, можно заменить другими, не создавая противоречия (как мы видели в главе 9). То есть Брауэр признал, что Кант был неправ, предполагая, что евклидова геометрия необходимо верна, поскольку существуют альтернативные геометрии, которые, как показывает опыт, лучше описывают пространство и время. Однако он не отверг в целом точку зрения Канта на математику как на средство изучения пространства и времени, он отверг только ее пространственную составляющую. Брауэр считал, что математика является выражением нашего осознавания времени, и пропагандировал тот взгляд, что натуральные числа происходят из последовательного просмотра набора объектов и временного разделения наших восприятий каждого из них, которое и представляет собой способ их различения. Брауэр, на самом деле, шел дальше: он был соллипсистом и считал, что все существующее, включая наши сознания, происходит из одного сознающего ума. Однако это точка зрения не является необходимой составляющей интуиционистской повестки дня, и на первый взгляд кажется, что нет необходимости говорить о ней далее (но позднее я еще коснусь с одобрением одного ее варианта).

Интуиционист принимает точку зрения, что натуральные числа имеют особый статус и что мы имеем прямую их интуицию: они не являются объектами, которые можно разработать лучше с помощью дальнейших описаний. Для того чтобы, следуя Брауэру, прийти к понятию натурального числа, мы должны замечать, как наше восприятие проводит различия между объектами, возникающие из упорядоченного во времени их просматривания, с отгибанием пальца всякий раз, как в поле нашего зрения попадает еще один. Из такого взгляда следует, что натуральные числа являются выражением нашей умственной активности. Подобным же образом арифметические операции, такие как сложение, следует считать изображениями умственных процессов, происходящих у нас в голове. Таким образом, чтобы подтвердить, что 2 + 3 = 1 + 4, мы должны выполнить множество операций; мы должны найти результат прибавления 2 к 3, так же как и 1 к 4, а затем должны удостовериться, что эти результаты равны друг другу.