|
Существуют три позиции, которые можно занять по отношению к аксиоме выбора, и каждый математик, сознательно или бессознательно, выбирает одну из них. Одна позиция, которую занимают математические страусы, заключается в том, чтобы игнорировать проблему, которую представляет эта аксиома, и просто продолжать работать как ни в чем не бывало. Это точка зрения всех физиков, большая часть которых вообще не подозревает, что здесь есть какая-то проблема, и только отрешенно пожмет плечами, если привлечь к ней их внимание и объяснить, в чем дело. Затем имеются математические социальные работники, которые осведомлены о проблеме и используют аксиому выбора для логического доказательства лишь как последнюю спасительную соломинку. Они отчаянно пытаются найти альтернативный маршрут среди аксиом, какими бы извилистыми ни становились их аргументы. И, наконец, существуют математические святые, поистине блюдущие обет безбрачия, когда дело доходит до аксиомы выбора, которым на нее противно даже смотреть, рассматривающие любое опирающееся на нее доказательство как ничтожное. Если математика не является в чистом виде ответвлением логики, что заставляют предполагать все эти неудачи, то какие еще дополнительные составляющие заложены в ней? Чтобы раскопать одну вероятную составляющую, мы должны обратиться к сыну шорника и наиболее трудно понимаемому, но и наиболее влиятельному из философов восемнадцатого века, возможно, на четверть шотландцу, Иммануилу Канту (1724-1804). В своем обсуждении метафизического познания, представляющего собой философское познание, выходящее за пределы опыта, в своей книге Kritik der reinen Vernunft (Критика чистого разума, 1781), Кант вводит различие между «синтетическими» и «аналитическими» суждениями. Аналитическое суждение , в котором предикат (свойство) предмета может быть выявлен путем только рассуждения, не приносит нового знания, как, например, высказывание «морковь является овощем». Согласно логическим позитивистам начала двадцатого века, принявшим и уточнившим этот термин, истинность аналитического суждения зависит только от значений составляющих его слов и правил грамматики, управляющих их сочетанием. Однако синтетическое суждение является таким, в котором предикат не содержится в предмете, например, «эта роза — красная», поскольку не все розы красные; такие утверждения несут новое знание. Далее, эти категории подразделяются на суждения a priori , для которых оценка их истинности не зависит от свидетельства опыта, и суждения a posteriori , для которых оценка истинности определяется в опыте. — 273 —
|