|
У интуиционизма есть определенные неприятные следствия, которые не становятся немедленно очевидными при кратком описании, но которые необходимо отметить, поскольку они наносят удар в самое сердце классической логики. Это, в частности, случай, когда имеют дело с утверждениями о бесконечных наборах объектов, с которыми нельзя ассоциировать никакую умственную активность, связанную с их восприятием, поскольку у нас нет прямого опыта бесконечности. Например, Аристотель считал одним из столпов логики свой закон исключенного третьего , согласно которому любое утверждение либо истинно, либо ложно. Этот закон оказывается не выполняющимся в интуиционистской математике, поскольку в ней может существовать утверждение, которое не может быть доказано или является логически неразрешимым. В любом случае, это не та ситуация, в которой утверждение либо истинно, либо ложно, лишь бы это когда-либо могло быть доказано. Одним из следствий такого положения дел является то, что утверждение «неверно, что это предложение ложно» не эквивалентно утверждению «это предложение истинно». В то время как мы могли бы утверждать, что сказать «неверно, что в коробке с бесконечным числом шаров найдется шар не красного цвета» это то же, что сказать «все шары в коробке красные», интуиционист отверг бы такое заключение. Согласно интуиционизму, истинность утверждения «в коробке найдется шар не красного цвета» может быть установлена только перебором всех находящихся в коробке шаров, что невозможно в случае бесконечного набора. Еще одним следствием такого положения является невозможность доказать некоторое утверждение, используя аргумент reductio ad absurdum , то есть показать, что отрицание этого утверждения ложно или ведет к противоречию. Для интуициониста единственно приемлемым утверждением является такое, доказательство которого может быть явно построено и требует конечного числа шагов. Давид Гильберт (1862-1943), прекрасный танцор и любитель пофлиртовать, был одним из наиболее влиятельных математиков двадцатого столетия. Он, как и Кант, родился в Кенигсберге, в Восточной Пруссии (по странному совпадению, Гольдбах тоже родился там). Он знаменит, в частности, тем, что сформулировал проблемы математики, которые, по его ощущениям, на грани веков, то есть в начале двадцатого века, являлись самыми выдающимися. С тех пор многие математики пытались разрешить представленные Гильбертом проблемы, сообщение о которых он сделал на Втором Международном конгрессе математиков в Париже в 1900 г. В лекции были представлены десять проблем; пока Гильберт работал над версией для публикации, их число выросло до двадцати трех. Влияние этих проблем — которые правильнее считать комплексом из группы проблем и намеков на проблемы, чем двадцатью тремя точно сформулированными отдельными экзаменационными вопросами — проистекает из того, что они представляли собой ответ на вопрос о том, что считать хорошей проблемой. Так, проблемы, предъявленные Гильбертом, стоили того, чтобы потратить время на их решение: они были трудными, но не выглядели нерешаемыми, а решение их осветило бы более широкий круг вопросов, чем те, которые они содержали. — 275 —
|