|
Некоторые из этих проблем решены; некоторые оказались неразрешимыми; иные все еще подвергаются атакам исследователей. Некоторые из проблем, в том виде, в котором Гильберт их сформулировал, являются настолько грандиозными, что неясно, будет ли когда-нибудь получено их решение, столь же определенное, как для других проблем. Например, одной из грандиозных проблем была аксиоматизация физики, утверждение ее на кратком и надежном основании, как это проделал Евклид для своего варианта геометрии, а он, Гильберт, строго формализовал его в своем авторитетном труде Grundlagen der Geometric (Основания геометрии, 1899). То, что он здесь имел в виду, можно истолковать, как формулирование «общей теории всего». Однако большая часть этих проблем вполне опеределенна, особенно если их великодушно интерпретировать. Например, они включали доказательство континуум-гипотезы Кантора (которая оказалась недоказуемой) и гипотезы Римана о том, что некоторая определенная функция комплексного переменного z обращается в нуль на бесконечном множестве значений z , каждое из которых имеет действительную часть, равную 1/2 (рис. 10.9). Рис. 10.9. Известно, что все решения уравнения 1 + 1/2z + 1/3z + 1/4z + … = 0 , где z — комплексное число, лежат в окрашенной полосе между 0 и 1. Одна из форм гипотезы Римана утверждает, что все решения этого уравнения на самом деле лежат на центральной линии полосы (как обозначено маленькими кружками), на которой действительная часть равна 1/2 в каждом случае. Последняя проблема может показаться не слишком уместной, но на самом деле она имеет фундаментальную важность для изучения простых чисел; она остается нерешенной и считается одной из важнейших нерешенных проблем математики. Позднее мы встретимся с двумя другими проблемами Гильберта явно. Его второй проблемой, которую атаковал и решил отрицательно Гёдель, было доказательство непротиворечивости аксиом арифметики. Его десятой проблемой, так называемой Enischeidungsproblem (проблема решения), которую также атаковали и решили отрицательно Алан Тьюринг и Апонз Чёрч, было обнаружение процесса, посредством которого можно было бы определить, решаемо ли уравнение за конечное число шагов или нет. Гильберт развил также философию математики, которая стала называться формализмом . Он видел математику как два плотно склеенных листа: один лист состоит из конечных расположений символов, получаемых с помощью применения определенных правил. Эти символы просто образуют определенный рисунок на странице и совершенно лишены смысла. Такие бессмысленные рисунки и есть то, что мы на самом деле понимаем под математикой. Даже аксиомы системы являются просто строчками значков, из которых вытек смысл, интеллектуальными трупами, а новые картинки выводятся из этих строчек посредством применения абстрактных правил. С этой точки зрения математики являются дизайнерами обоев. Единственные надежные доказательства, согласно Гильберту, являются финитистскими , а том смысле, что они являются финитными (то есть конечными) наборами символов, поскольку лишь такие наборы можно обозреть и проверить: безопасная математика — это финитная математика. На втором листе находится метаматематика , которая состоит из комментариев к реальной математике, она содержит комментарии типа «эта строка символов имеет сходство с другой», или «x нужно интерпретировать как особый знак для объекта», или «особая группа знаков указывает на то, что модель является полной», или «вот доказательство этого предложения». Мы можем представлять себе собственно математику как всевозможные расположения фигур на шахматной доске, а сопровождающую ее метаматематику как комментарии типа «для белых существует двадцать возможных первых ходов» или «в этой позиции следует шах и мат». Согласно формалистам, математика — это абстрактный символизм и порождение моделей: метаматематика наделяет символизм и модели значением для человека, она пропитывает значки «смыслом», она восстанавливает у трупов кровообращение. — 276 —
|