|
Возможно, создается впечатление, что разветвленная теория типов является лоскутным одеялом, сшитым из отдельных уверток. На самом деле, все обстоит гораздо хуже, поскольку в ней оказалось невозможным доказать, что каждое натуральное число имеет следующее за ним или что количество натуральных чисел бесконечно. Чтобы преодолеть эти недостатки, к лоскутному одеялу пришлось пришить аксиому бесконечности , которая просто декларировала существование бесконечности. Но худшее (в смысле увеличения числа лоскутков) было впереди: для корректного определения числа пришлось добавить лоскут аксиомы редуцируемости , связанной с поведением предложений различного порядка. Так или иначе, но логицистическая повестка дня раскручивалась, и, казалось, становилось ясно, что математика не является просто ответвлением логики. Что также становилось ясным, так это существование проблем с теорией множеств, которую хотели представить как основание математики. Может быть, неприятности теории множеств можно проследить до подлинной проблемы, заключающейся в самом понятии множества, которое выглядит выхолощенным? Может быть, понятие множества слишком широко для математиков? В начале двадцатого века, приблизительно в то же время, когда Рассел и Фреге сражались со своими проблемами, эта точка зрения получила определенную поддержку в форме аксиомы выбора . Эта аксиома является логическим двойником пятого постулата геометрии Евклида (о параллельных прямых, глава 9) и привлекла к себе огромное внимание. Ее простейшая форма выглядит кроткой как овечка: если у вас есть набор множеств, то вы можете составить новое множество, выбирая по одному элементу из каждого множества и добавляя их в свою тележку для покупок. Все мы собираем таким способом элементы множеств в супермаркете, называя вновь сконструированное множество своим шопингом. Кто мог бы возразить против такой процедуры собирания множества? Однако овечка сбрасывает шкуру и оборачивается волком, как только мы начинаем рассматривать бесконечные множества, поскольку, возможно, нет никакого способа точно определить выбор. Для конечного числа множеств мы можем просто составить список всех элементов, которые хотим выбрать — список покупок. Рассмотрим, однако, следующую задачу. У нас есть бесконечное число множеств, одно состоит из действительных чисел, лежащих между 0 и 1, другое между 1 и 2 и так далее. Мы решили образовать новое множество путем случайного выбора по одному элементу в каждом из этих множеств. К сожалению, мы не можем составить список наших выборов, потому что их число бесконечно, и не можем определить их правилом, потому что их выбор должен быть случайным. Таким образом, мы образовали множество, которое не можем точно определить. Рассел привел бытовую иллюстрацию трудности, которую создает аксиома выбора: богатый человек, имеющий бесконечное число пар носков, поручает слуге выбрать по одному носку из каждой пары. Слуге не удается это проделать, так как у него нет способа решить, какой носок в каждой паре он должен выбрать. — 272 —
|