|
Пеано, по некоторым непостижимым, но, возможно, обаятельно романтическим причинам, опубликовал свои аксиомы на латыни. Он определил арифметику следующими постулатами: 1. 0 есть число. 2. Элемент, непосредственно следующий за числом, есть также число. 3. 0 не является элементом, непосредственно следующим за каким-либо числом. 4. Никакие два числа не имеют одного и того же следующего за ними элемента. 5. Любое свойство, которым обладают 0 и каждый элемент, непосредственно следующий за числом, есть также свойство, которым обладают все числа. Последняя аксиома есть принцип математической индукции . Если мы обозначим операцию «непосредственно следующий за» символом s , то получаем возможность определить 1 как s0 (элемент, непосредственно следующий за 0), 2 как ss0 (элемент, непосредственно следующий за элементом, непосредственно следующим за 0), 3 как sss0 и так далее. У этого подхода, однако, существует та проблема, что Пеано оставил без определения некоторых из своих терминов, такие, как «непосредственно следующий за» и, конечно, «число», так что мы все еще не знаем, чем являются числа. Основополагающий вклад в решение этой проблемы внес Фридрих Людвиг Готтлоб Фреге (1848-1925). Этот вклад казался отправным пунктом для того, чтобы математика могла занять подобающее ей высшее место в иерархии человеческой мысли, а на деле оказался причиной ее падения. Фреге считают основателем математической логики, так как ему удалось создать превосходную логическую схему, которая должна была утвердить математику в качестве краткого конспекта сушеной человеческой мысли. Для достижения этого ему было необходимо понятие числа, и, чтобы создать его, он построил в своем труде Grundlagen der Arithmetik (Основания арифметики, 1884) концепцию множества . Множество — это просто собрание различных объектов, например, Том, Дик, Гарри. Множества были введены в математику Кантором, а в течение последующих десятилетий теорию множеств усовершенствовали Эрнст Цермело (1871-1953) и Адольф Френкель (1891-1965), которые сформулировали точные утверждения о свойствах множеств, о том, как их строить (то, чего Кантору объяснить не удалось) и как с ними обращаться. Поэтому современная общепринятая теория множеств известна как теория Цермело-Френкеля . Фреге предложил считать числа названиями множеств определенного вида. Чтобы сделать свое определение точным, он ввел понятие расширения свойства, как множества, состоящего из всех объектов, этим свойством обладающих. О названии «расширение» лучше всего думать как о слове, произошедшем от словосочетания «расширенный набор». Так, расширением свойства «иметь такой же размер, как множество Том, Дик, Гарри» является множество, состоящее из всех множеств, которые имеют тот же размер. Понятие «иметь такой же размер» в теории множеств вполне определенно: оно означает, что элементы множеств одного размера могут быть поставлены во взаимно однозначное соответствие. Например, множество Том, Дик, Гарри имеет такой же размер как камень, ножницы, бумага, поскольку Тома можно привести в соответствие с камнем, Дика с ножницами, а Гарри с бумагой (рис. 10.7). Может показаться, что теория множеств чересчур уж тщательно заботится об определениях: но эта забота совершенно необходима, когда речь идет об основаниях математики. Расширением свойства «иметь такой же размер, как множество Том, Дик, Гарри» будет, таким образом, множество, состоящее из множеств Том, Дик, Гарри, камень, ножницы, бумага и так далее. А теперь мы с грохотом плюхаемся на землю: мы называем это расширение, это множество, числом 3. — 269 —
|